(a) A conjectura da bolha dupla determina que, quando duas bolhas se aglutinam, elas formam duas esferas
que se encontram a 120º ao longo de uma margem esférica.
(b) Outras possibilidades a serem descartadas incluem esse amendoim numa boia.Bolhas e filmes de sabão são exemplos de um conceito matemático extremamente
importante conhecido como “superfície mínima”. Trata-se de uma superfície cuja área é a
menor possível, sujeita ao preenchimento de certas condições adicionais.
As superfícies mínimas surgem na matemática das bolhas por um efeito físico chamado
tensão superficial. A superfície de um líquido se comporta como se fosse elástica, parecida a
uma fina película de borracha. Se você tentar esticá-la, uma força se opõe ao estiramento. A
força é causada pela estrutura das moléculas na superfície, que é diferente da que encontramos
no interior do líquido graças à ausência de algumas de suas ligações químicas. O resultado da
tensão superficial é o armazenamento de energia na superfície.
A matemática das ligações químicas ausentes é notavelmente complicada; mas podemos
usar uma aproximação simples e bastante precisa se estivermos interessados apenas na forma
geral da superfície, e não nos detalhes moleculares. Ocorre que a energia gerada pela tensão
superficial num filme de sabão é proporcional à sua área.
Uma bolha de sabão é uma superfície mínima — ou seja, uma superfície com área mínima
— porque, “na verdade”, é uma superfície de energia mínima. Como, para a tensão superficial,
a energia é igual à área (bom, são proporcionais, o que é a mesma coisa, acrescentando-se
algum fator constante), minimizar a área é o mesmo que minimizar a energia. E o fato é que a
natureza gosta de minimizar a energia — portanto as bolhas minimizam a área.
Por exemplo, podemos provar matematicamente que a superfície de menor área que
circunda um volume dado é uma esfera — esse é o motivo pelo qual as bolhas de sabão são
esféricas. Uma bolha de sabão circunda um volume fixo de ar, e um filme de sabão é tão fino
— cerca de um milionésimo de metro — que se parece bastante com uma superfície
matemática infinitamente fina. (As bolhas em movimento são uma questão à parte, pois existem
forças dinâmicas que podem fazê-las oscilar, gerando todo tipo de forma fantástica.) A ideia
das superfícies mínimas tem muitas aplicações — na biologia, química, cristalografia e até
mesmo na arquitetura.
Se não houver restrição, a área da superfície mínima será igual a zero — que é, afinal, a
menor de todas as áreas possíveis. As restrições mais comuns são as que determinam que a
superfície deve circundar um volume dado, que sua margem deve se apoiar em uma superfície
dada, que sua margem deve ser curva, ou alguma combinação dessas condições. Por exemplo,
uma bolha apoiada sobre a superfície plana de uma mesa geralmente tem a forma de um
hemisfério, que é a menor área de superfície que circunda um certo volume e que tem uma
margem apoiada num plano (a superfície da mesa).
Plateau tinha especial interesse por superfícies cuja margem fosse alguma curva escolhida.
Em seus experimentos, a curva era representada por um pedaço de arame, dobrado numa certa
forma, ou diversos arames unidos, formando uma armação. Qual é, por exemplo, a forma de
uma superfície mínima cuja margem seja constituída por dois círculos idênticos “paralelos”?
Podemos pensar que talvez se trate de um cilindro. No entanto, essa ideia pode ser
aprimorada. Leonhard Euler provou que a verdadeira superfície mínima com tais margens é
uma catenoide (Figura 12.3), formada quando giramos uma curva em U, chamada catenária, ao
redor de um eixo que corre pelos centros de dois círculos. A catenária é a forma gerada por
uma corrente pesada e uniforme sob a ação da gravidade: é bastante parecida a uma parábola,
mas com uma forma ligeiramente mais larga. Podemos demonstrar o teorema de Euler
construindo dois anéis circulares de arame, com cabos por onde possamos segurá-los — como
uma rede de caçar borboletas. Basta unirmos os dois anéis, mergulhá-los numa solução de
sabão ou detergente e depois separá-los, revelando a catenoide em sua beleza cintilante.