Uma das descrições mais famosas da matemática dos filmes de sabão encontra-se no
clássico O que é matemática?, de Richard Courant e Herbert Robbins. Os autores descrevem
alguns dos experimentos originais de Plateau, nos quais ele mergulha as estruturas de arame
em formatos de poliedros regulares no sabão. O caso mais simples, que os autores não
discutem, surge quando a estrutura é um tetraedro, uma forma com quatro faces triangulares e
seis arestas iguais. Nesse caso, a superfície mínima é formada por seis triângulos, que se
encontram no centro do tetraedro (Figura 12.4.a). Uma estrutura cúbica de arame leva a um
arranjo mais complicado de 13 superfícies praticamente planas (Figura 12.4.b). Os
matemáticos compreendem completamente o caso do tetraedro, mas ainda não desenvolveram
uma análise completa para o cubo.
Figura 12.3
Catenoide: a menor superfície de margem constituída por dois círculos idênticos.Figura 12.4
(a) Filme de sabão numa estrutura tetraédrica forma suas superfícies planas
(b) Filme de sabão numa estrutura cúbica forma 13 superfícies quase planas.A estrutura tetraédrica ilustra duas importantes características gerais dos filmes de sabão,
observados empiricamente por Plateau. Ao longo das linhas que correm dos vértices da
estrutura ao seu ponto central, os filmes de sabão se encontram de três em três, em ângulos de
120°; no ponto central, quatro arestas se encontram em ângulos de 109° 28’. Esses dois
ângulos são fundamentais em qualquer problema que envolva filmes de sabão em contato. Os
ângulos de 120° entre as faces e de 109° 28’ entre as arestas surgem não só no tetraedro
regular, como também em qualquer outro arranjo de filmes de sabão — desde que não exista ar
aprisionado no interior, ou, caso exista, que as pressões nos dois lados do filme sejam iguais,
anulando assim uma à outra.
Os filmes numa espuma são ligeiramente encurvados, mas podem ser aproximados por
faces planas: com essa aproximação, observaremos os dois ângulos citados no interior da