Mania de Matematica 2 - Novos Enigmas e Desafios Matemáticos

Uma espuma peculiar

Suponha que as bolhas de uma espuma sejam poliedros regulares, cujas faces sejam

polígonos regulares com n lados, e que os ângulos entre esses lados sejam todos X = 109°

28’. Como tal objeto não existe, vamos chamá-lo de “espumoedro” e fingir que existe.

Digamos que o espumoedro tenha V vértices, F faces e A arestas.

Sabe-se bem que num polígono regular com n lados e ângulo X (medido em graus),

devemos ter n = 360/(180 - X). (Por exemplo, se o ângulo for de 90°, então n = 360/ 90 = 4,

um quadrado, como era de se esperar.) Isso ocorre porque existem n ângulos externos de 180

• X, cuja soma deve ser igual a 360°. Com X = 109° 28’, essa equação determina que o
  espumoedro tem n = 5,104 lados.
  A partir daqui, o cálculo fica um pouco mais complicado. Em cada vértice do
  espumoedro há um encontro de três faces — porque X é maior que 90°, mas menor que
  120°. Portanto, o ângulo total em cada vértice é igual a 3X. Entretanto, podemos encontrar o
  mesmo valor somando todas as faces, que contribuem, cada uma, com nX para o ângulo
  total. Portanto, 3VX = nFX; dessa forma, 3V = nF = 5.103F, de onde

(1) V = 1,701F

Considere agora as A arestas. Cada face tem n arestas, totalizando nF arestas. Mas cada

aresta é comum a duas faces, portanto

(2) A = nF/2 = 2,552F

Por fim, lembre-se da famosa fórmula de Euler

(3) F + V - A = 2,

que é válida para qualquer poliedro. Usando (1) e (2) para substituir V e A em (3) por

múltiplos de F, obtemos F + 1,701F - 2,552F = 2; simplificando, obtemos 0,149F = 2,

portanto F = 2/0,149 = 13,42. Então, V = 22,83 e A = 34,25.

Em 1976, Frederick Almgren e Jean Taylor provaram a segunda regra de Plateau sobre os
ângulos de 109° 28’. A prova engenhosa que encontraram tinha diversas etapas. Eles
começaram considerando qualquer vértice no qual se encontrassem seis faces, ao longo de
quatro arestas comuns. Em primeiro lugar, demonstraram que podemos ignorar a ligeira
curvatura vista na maioria dos filmes de sabão, de modo que os filmes sejam considerados
planos. A seguir, examinaram o sistema de arcos circulares formados por esses planos ao
cruzarem uma pequena esfera centrada nesse vértice. Como os filmes de sabão são superfícies
mínimas, tais arcos são “curvas mínimas” — seu comprimento total é o menor possível.
Utilizando a analogia esférica do teorema de Torricelli-Cavalieri, esses arcos sempre devem
se encontrar de três em três, em ângulos de 120°. Almgren e Taylor provaram que exatamente
dez configurações distintas dos arcos — são bastante complicadas, portanto não as desenharei
— satisfazem esse critério. Para cada caso, os autores se perguntaram se a área total dos
filmes dentro da esfera poderia ser reduzida ao deformarmos ligeiramente as superfícies,
talvez introduzindo novos pedaços de filme. Todos esses casos puderam ser descartados, pois