não correspondiam a verdadeiras superfícies mínimas. Exatamente três casos sobreviveram ao
tratamento: os arranjos de filme formados são um único filme, ou três filmes que se
encontravam em ângulos de 120°, ou seis filmes que se encontravam em ângulos de 109° 28’
— exatamente como Plateau observou. As técnicas detalhadas necessárias para a prova
extrapolaram a geometria, passando à análise — o cálculo e seus descendentes mais
esotéricos. Almgren e Taylor utilizaram conceitos abstratos chamados “medidas” para permitir
que sua prova contemplasse formatos de bolhas muito mais complexos que as superfícies lisas.
A regra dos 120° leva a uma bela propriedade de duas bolhas agrupadas. Há muito tempo
presumimos empiricamente que, quando duas bolhas se unem, formam-se três superfícies
esféricas, dispostas como na Figura 12.5. Se assim for, os raios das superfícies esféricas
deverão satisfazer uma bela relação. Sejam r e s os raios das duas bolhas e t o raio da
superfície ao longo da qual se encontram: então, sua relação será 1/r = 1/s + 1/t. Esse fato está
provado no adorável livro The Science of Soap Films and Soap Bubbles, de Cyril Isenberg,
usando não mais que geometria elementar e a propriedade dos 120°.
Figura 12.5
Geometria presumida de uma bolha dupla, mostrada num corte transversal. Ao rodar os arcos em torno da
linha reta obtêm-se as superfícies. Os raios r, s, t satisfazem a relação 1/r = 1/s + 1/t].Tudo o que resta é provarmos que as superfícies são partes de esferas — essa etapa
aparentemente óbvia foi a que causou os maiores problemas. Em 1995, Joel Hass
(Universidade da Califórnia, Davis) e Roger Schlafly (Real Software, Santa Cruz)
encontraram uma prova — porém, somente com o pressuposto adicional de que as bolhas
tivessem o mesmo volume. Sua prova precisou do auxílio de um computador, que resolveu
200.260 integrais associadas a possibilidades concorrentes — uma tarefa que a máquina
executou em apenas 20 minutos!
Os matemáticos precisaram coçar a cabeça por mais cinco anos até encontrarem a solução
completa. Em 2000, Michael Hutchings (na época na Universidade de Stanford, agora em
Berkeley), Frank Morgan (Williams College), Manuel Ritoré e Antonio Ros (Granada)
provaram a conjectura da bolha dupla para bolhas de volumes diferentes.
As bolhas ainda representam grandes desafios para os matemáticos. Hoje sabemos muito
mais do que sabia Plateau ao mergulhar seus arames em água e sabão, mas devemos nos
lembrar que foram esses experimentos que criaram uma bela área da matemática: a geometria
das superfícies mínimas.