cruzamentos do grafo Cm × Cn formado a partir de uma grade no toro seja (m – 2)n. Contudo,
essa “conjectura (m,n)” jamais foi provada. Sabe-se que ela realmente é verdadeira para os
casos citados acima, dos quais C 7 × C 7 foi o último a ser provado. (Leia o artigo de Myers
para conhecer os detalhes e as referências.) Portanto, o menor caso não resolvido é C 7 × C 8 ,
para o qual o número conjecturado de cruzamentos é 40.
Você consegue encontrar uma maneira de redesenhar a Figura 13.4 no plano com 39
cruzamentos ou menos? Não vale roubar nem tentar fraudar o problema, por favor! Isto é
matemática, não um jogo. Se conseguir, a conjectura (m,n) será falsa. Experimente.
Pode parecer incrível que, combinando os cérebros de matemáticos de todo o mundo, não
consigamos determinar se a Figura 13.4 pode ser redesenhada com menos cruzamentos — mas
isso nos mostra a grande diferença entre uma pergunta fácil de fazer e uma fácil de responder.
Mesmo que existam aprimoramentos possíveis, deverão ser pequenos. Em 1997, G.
Salazar (Universidade Carleton) provou que, se o número de cruzamentos de Cm × Cn for
menor que (m – 2)n, não poderá ser muito menor. Presumindo uma condição técnica (o número
de vezes que quaisquer dois ciclos n se cruzam não poderá exceder um valor máximo
definido), o número de cruzamentos dividido por (m – 2)n se aproxima de 1 à medida que n se
torna arbitrariamente grande. Ainda assim, esse resultado deixa espaço para uma redução no
valor conjecturado (m – 2)n para qualquer escolha específica de m, n. Se a conjectura for
falsa, isso explicaria por que parece ser tão difícil de provar. Por outro lado, talvez seja como
o último teorema de Fermat, o problema de Kepler e a conjectura das quatro cores:
verdadeira, mas difícil de provar!