Optimizing Optimization: The Next Generation of Optimization Applications and Theory (Quantitative Finance)

188 Optimizing Optimization

It

q

qq q

p

tppt

p

()

∂  

∂

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

σ ⎜⎜

μσσμ

σ

2

2 22 2

2

exp Φ

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

()

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟





q

qq

pt

tp

σμ

2 2 2 μσ^22

2

exp ΦΦ

q

q

qq

pt

p

pp t

tp

σμ

σ

σσ μ

μσ

2

2

22

2

2

2







⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

()

⎛

⎝

⎜

exp⎜⎜⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

′

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

Φ

q

qq

pt

p

p

tp

σμ

σ

σ

μσ

2

2

2 2







exp

222

0

2

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

′′

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

=

Φ

qpt

p q

σμ

σ



(8.46)

It p t

p

t

t

p

()σ tp

μ

σ

μ

μ

σ

(^22) ΦΦ 2 μσ
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
⎟⎟
⎟
′′
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
⎟⎟
⎟
′′
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
⎟⎟
⎟
ΦΦ 
μ
σ
σ
μ
σ
t
p
p
t
p
2
(8.47)
Now ,
Φ()x
z
dz
x


1
2 2
2
π
exp
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
∫∞ ⎟⎟⎟
(8.48)
′
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
Φ()x ⎟⎟⎟ ()
x
x
1
2 2
2
π
exp φ
(8.49)
and
′′
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
Φ()xx ⎟⎟⎟ ()
x
  xx
1
2 2
2
π
exp φ
(8.50)
Thus ,
It pt t
p
tp
t
p
() σμ
μ
σ
μσφ
μ
σ
(^222)
()
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
Φ ⎟⎟
⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
⎟⎟
⎟
σ
μ
σ
φ
μ
σ
p
t
p
t
p
2
(8.51)
or
It pt t
p
tp
t
p
() σμ
μ
σ
μσφ
μ
σ
22
()
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
⎟⎟
⎟
Φ
(8.52)