Matemática Básica Explicada Passo a Passo I Luiz Cláudio Cabral e
Mauro César Nunes ELSEVIER
Série Provas e Concursos
12.4. Relações entre os coeficientes a, b e c e suas raízes da equação
completa do 2o grau (ou relações de Girard)
• Soma das raízes (S)
S = x’+ x’’=
b
a
− S =
b
a
−
• Produto das raízes (P)
P = x’. x’’ =
c
a
P =
c
a
• Módulo da diferença das raízes (D)
D = |x’ – x’’| =
a
∆
Obs.: Se o problema afirmar que x 1 = 2x 2 (uma raiz é o dobro da outra), utilize a relação
de soma (x 1 + x 2 = –b/a) e produto (x 1 × x 2 = c/a), denotando x 2 = y e x 1 = 2y
12.5. Composição ou determinação da equação do 2o grau completa,
conhecendo-se as suas raízes
É calculada ou obtida por meio da fórmula resolvente:
x^2 – Sx + P = 0
Onde:
S x ' x '' (soma das 2 raízes)
P x '.x '' (produto das 2 raízes)
=+
=
Exemplo: Qual é a equação do 2o grau completa cuja soma e o produto valem,
respectivamente, 4 e – 6?
S x' x'' S 2 ( 6) S 4
P 2.( 6) P 12
=+⇒=+−=−
=−⇒=−
x^2 – Sx + P = 0 ⇒ x^2 – (–4)x + (–12) = 0
x^2 + 4x – 12 = 0
12.6. Forma fatorada da equação completa do 2o grau
A forma fatorada será dada por:
a.(x – x’).(x – x’’) = 0, com com: a ≠ 0
Exemplo: para a = 6, x’ =
1
2
e x’’ =
1
3
a.(x – x’).(x – x’’) = 0 ⇒
11
6.x .x 0
23
−−=
Que produz a equação:
- x^22 x x^10 6x 6x 6x^60
326 3 2 6
−−+=⇒−−+=
6x −−+=⇒2x 3x 1 0 6x^2 −+=5x 1 0