Matemática Básica Explicada Passo a Passo - Série Provas e Concursos

Matemática Básica Explicada Passo a Passo I Luiz Cláudio Cabral e
Mauro César Nunes ELSEVIER
Série Provas e Concursos

Fatorando-se, simultaneamente, os três valores anteriores:

180 ; 240 ; 270 2

90 ; 120 ; 135 2

45 ; 60 ; 135 2

45 ; 30 ; (^1352) divisores comuns entre 180, 240 e 270
45 ; 15 ; (^1353) MDC(180; 240; 270) = 2 × 3 × 5 = 30
15 ; 5 ; 45 3
5 ; 5 ; 15 3
5 ; 5 ; 5 5
1 ; 1 ; 1

3.2. Algoritmo de Euclides

Use o algoritmo de Euclides (ou método das divisões sucessivas) para calcular

o MDC (16, 24).

Resolução:

O algoritmo de Euclides é descrito a seguir.

divisor quociente dividendo quociente

1 1 2

24 16 ⇒ 24 16 ⇒ 24 16 8

8 8 0

dividendo resto resto divisor

Logo, temos que MDC(16,24) = 8 (último resto não nulo).

3.2.1. Propriedades básicas do MDC............................................................................................

1 a propriedade: se o MDC(a ; b) = 1 então, a e b são denominados primos relativos

ou primos entre si.

Exemplo: MDC(8 ; 15) = 1, então 8 e 15 são primos entre si.

2 a propriedade: se MDC(a ; b) = q, então MDC(k ×   a ; k × b) = kq, com k ≠    0.

Exemplo: MDC(5 ; 11) = 1. Então, MDC(30 ; 66) = 6, pois: MDC(6 ×    5 ; 6 × 11)

= 6 ×   1 = 6

3 a propriedade: dois números consecutivos são sempre primos entre si, ou seja: MDC(k ;

k + 1) = 1

Exemplo: MDC(21 ; 22) = 1

3.2.2. Outras propriedades do MDC

1 a propriedade: Dividindo-se dois números pelo máximo divisor comum entre eles,

os quocientes obtidos são números primos entre si:

ABa; b

M D C( A , B) M D C( A , B)

==

Logo, “a” e “b” são primos entre si.