6.2 Rules for Differentiation 307Proof. Suppose f and g are differentiable at xo and c E R Then
( ) 1
. cf(x) -cf(xo)
1
. [f(x) - f(xo)]
a im = im c
x-+xo x -Xo x-+xo X - Xo
= c lim f(x) - f(xo)
X->Xo x - Xo= cf'(xo).(b) lim (! + g)(x) - (! + g)(xo)
x->xo x - xo
1
. lffi ~~~~~ f(x) + g(x) - [f(xo) + g(xo)]
x->xo x - Xo
= lim f(x) - f(xo) + g(x) - g(xo)
x->xo X - Xo= lim [f(x) - f(xo) + g(x) - g(xo)]
X->Xo x -Xo x - Xo= lim f(x) - f(xo) + lim g(x) -g(xo)
x->xo x - Xo x->xo X -Xo= f'(xo) + g'(xo).
( c) Exercise 1.(d) lim (fg)(x) - (fg)(xo) = lim f(x)g(x) - f(xo)g(xo)
x->xo x -Xo x->xo X - Xo
= lim f(x)g(x) - f(x)g(xo) + f(x)g(xo) - f(xo)g(x 0 )
x->xo x - Xo
= lim [f(x)g(x) - f(x)g(xo) + f(x)g(xo) - f(xo)g(x 0 )]
X->Xo x -Xo x - Xo= lim f(x)g(x) - f(x)g(xo) + lim f(x)g(xo) - f(xo)g(xo)
x-+xo x -Xo X->Xo x - Xo= 1 lffi. !( X )g(x) -g(xo) + 1 lffi. g ( Xo )f(x) - f(xo)
x->xo x -x 0 x->xo x -xo= 1. lffi !( X ) · 1 lffi. g(x) - g(xo) + ( ) g Xo 1 lffi. f(x) - f(xo).
x->xo x->xo x - Xo x->xo X - Xo