Spektrum der Wissenschaft - 07.2019

MATHEMATISCHE

UNTERHALTUNGEN

NICHTPERIODISCHE

PARKETTKUNST

Was Physikern als Modellstruktur für Quasi kristalle dient,

machen sich Künstler zu Nutze, um aus der Mischung

von Regelhaftigkeit und Undurchschaubarkeit besondere

Effekte zu erzielen.

Christoph Pöppe ist promovierter Mathematiker und war bis 2018 Redakteur bei Spektrum der Wissenschaft.

 spektrum.de/artikel/1647852



Einige Mathematiker haben sich doch tatsächlich in

die fünfte Dimension begeben, um von diesem – sa-

gen wir herausgehobenen – Standpunkt aus etwas

ganz gewöhnlich Zweidimensionales zu studieren: die

nichtperiodischen Pflasterungen der Ebene mit dieser

seltsamen fünfzähligen Symmetrie, die unter dem Namen

»Penrose-Pflasterungen« berühmt geworden sind. Der

Umweg erweist sich als sehr elegant und öffnet das Tor zu

einer umfassenden Theorie der nichtperiodischen Ordnung

(siehe Spektrum Februar 2002, S. 64); zu allem Überfluss

kann man auf diesem Weg Tapetenfunktionen konstruie-

ren, die einer echten Pflasterung schon sehr nahekommen

(siehe Spektrum Mai 2019, S. 74). Aber geht es vielleicht

auch etwas bodenständiger?

Es geht. Zwei mathematische Hilfsmittel, die ohne

expliziten Rückgriff auf höhere Dimensionen auskommen,

liefern eine Fülle von Ergebnissen. Das eine ist unter dem

Stichwort »Anlegeregeln« bekannt, das andere unter den

Namen »Inflation«, »Deflation« und »Substitution«; jedes

für sich beschreibt einen Teilaspekt des Werkzeugs.

Nichtperiodische Pflasterungen sind einerseits irgendwie

anarchisch in dem Sinn, dass man sich nie darauf verlassen

kann, was als Nächstes kommt. Andererseits sind sie

überaus regelmäßig, indem dieselben Elemente und auch

dieselben Zusammensetzungen aus Elementen immer

wieder vorkommen. Dieses Spannungsfeld zwischen Ord-

nung und Chaos eröffnet auch Künstlern reizvolle Möglich-

keiten; von einigen soll im Folgenden die Rede sein.

Penrose-Pflasterungen gibt es in zwei Varianten. Die

eine besteht aus »Pfeilen« und »Drachen« (in der Literatur

als »darts« und »kites« bekannt), die andere aus dünnen

und dicken Rauten. Sie sind eng miteinander verwandt;

denn jeder Baustein aus den beiden Pflasterungen lässt

sich seinerseits in zwei »goldene« Dreiecke zerlegen. So

nennt man die beiden gleichschenkligen Dreiecke, bei

denen die längere Seite zur kürzeren das Verhältnis des

goldenen Schnitts hat (siehe Bild, S. 82 links).

Aber so symmetrisch, wie sie aussehen, sind die Pflas-

tersteine gar nicht. Wären sie es, so könnte man mit lauter

dicken oder lauter dünnen, parallel verschobenen Rauten

die Ebene füllen. Ähnliches gelingt mit Drachen oder Pfeil,

indem man an ein Element ein um 180 gedrehtes Exemp-

lar desselben anfügt und mit diesem Zweierverbundstück

die Ebene pflastert. Das wären allerdings periodische

Pflasterungen, also solche, die sich immer wieder parallel

verschoben bis ins Unendliche wiederholen; und das

sollen die Penrose-Pflasterungen gerade nicht sein.

Anlegeregeln und Ammann-Linien

Vielmehr haben die Pflastersteine besondere Eigenschaf-

ten, die derartiges periodisches Anlegen verhindern. Man

pflegt sie zu verdeutlichen, indem man die Steine mit

geeigneten Eindellungen und Ausbuchtungen versieht

oder mit Mustern, von denen man fordert, dass sie sich

über eine Steingrenze hinweg fortsetzen.

Unter allen denkbaren derartigen Musterungen ist die

im rechten Bild auf S. 82 nicht unbedingt die schönste,

aber zweifellos die aufschlussreichste. Es handelt sich um

die Ammann-Linien, so benannt nach dem amerikani-

schen Postbeamten und Amateurmathematiker Robert

Ammann (1946–1994), der im stillen Kämmerlein nicht nur

diese Linien, sondern auch noch zahlreiche andere Ergeb-

nisse zum Thema fand.

Auf einem einzelnen Stein wirken die Ammann-Linien

eher willkürlich. Warum verlaufen sie so und nicht anders?

Immerhin fällt auf, dass sie den Weg eines Lichtstrahls