Gestion de Portefeuille et Applications

δL

δω 1

=ω 1 σ 12 +ω 2 σ 12 −λμ 1 −δ = 0

δL

δω 2

=ω 2 σ 22 +ω 2 σ 12 −λμ 2 −δ= 0

δL

δλ

= μ*−ω 1 μ 1 −ω 2 μ 2 = 0

δL

δδ

= 1 −ω 1 −ω 2

A partir des deux premières conditions on écrit :

(

σ 12 σ 12

σ 12 σ 22 )(

ω 1

ω 2 )−λ(

μ 1

μ 2 )−δ(

1

1 )= (

0

0 )

On résout dans un premier temps pour ω 1 et ω 2

(

ω 1

ω 2 ) =(

σ 12 σ 12

σ 12 σ 22 )

− 1

(

λ(

μ 1

μ 2 )+δ(

1

1 ))

(

ω 1

ω 2 ) =

1

σ 12 σ 22 −σ 122 (

σ 12 −σ 12

−σ 12 σ 22 )(

λ(

μ 1

μ 2 )+δ(

1

1 ))

Les deux dernières conditions peuvent s’écrire comme suit

(

μ*

1 )=(

μ 1 μ 2

1 1 )(

ω 1

ω 2 )

On remplace (

ω 1

ω 2 ) par sa valeur pour trouver les expressions de (

λ

δ) :

(

μ*

1 )=(

μ 1 μ 2

1 1 )(

σ 12 σ 12

σ 12 σ 22 )

− 1

(

λ(

μ 1

μ 2 )+δ(

1

1 ))

Ceci peut se réécrire (voir chapitre 1) comme suit :