La contrainte du budget 1 =ω 1 +ω 2 +ω 3 a été déjà satisfaite en remplaçant
ω 3 par 1 −ω 1 −ω 2 dans les expressions de la fonction objectif et dans la con-
trainte.
On écrit le Lagrangien :
L =^1
2 (
ω 12 σ 12 +ω 22 σ 22 +ω 1 ω 2 σ 12 )+λ(μ*−ω 1 μ 1 e−ω 2 μ 2 e−rf)Les conditions de premier ordre :
δL
δω 1=ω 1 σ 12 +ω 2 σ 12 −λμ 1 e = 0δL
δω 2=ω 2 σ 22 +ω 2 σ 12 −λμ 22 = 0δL
δλ= μ*−ω 1 μ 1 e−ω 2 μ 2 e−rf = 0Les deux premières équations peuvent s’écrire comme suit :
(
σ 12 σ 12
σ 12 σ 22 )(ω 1
ω 2 )−λ(μ 1 e
μ 2 e) =(0
0 )^ ⇔^ (ω 1
ω 2 )=(σ 12 σ 12
σ 12 σ 22 )− 1
λ(μ 1 e
μ 2 e)En écriture matricielle ceci donne : ω =Ω−^1 λμe
On cherche ensuite avec la troisième équation des conditions de premier or-
dre la valeur de ω : δL
δλ
=μ*−ω 1 μ 1 e−ω 2 μ 2 e−rf = 0En notations notations matricielles cela s’écrit comme : μ*=ω′μ e+rf
Pour trouver λ on remplace ω′ par sa valeur dans l’expression donnant ω :
μ=(Ω−^1 λμe)′^ μe+rf ⇔ μ=λ(μe)′^ Ω−^1 μe+rf ⇔ λ=
μ*−rf(μe)′ (^) Ω− (^1) μe