Gestion de Portefeuille et Applications

G+H : Un vecteur donnant les poids d’un portefeuille de risque mini-
mum ωayant un rendement désiré égale à l’unité, μP = 1.

On remplace ω =μp*G+H par sa valeur dans l’expression donnant la va-

riance du portefeuille, σP^2 = ω′Ω ω , on obtient :

σP^2 =μP*[

Cμ′ω

AC−B^2

−

B핀′ω

AC−B^2 ]

+[

A핀′ω

AC−B^2

−

Bμ′ω

AC−B^2 ]

On sait que, μ′ω = μP* et 핀′ω = 1 , d’où

σP^2 =μP*[

CμP*

AC−B^2

− B

AC−B^2 ]

+[ A

AC−B^2

−

BμP*

AC−B^2 ]

σP^2 = C

AC−B^2

μP*^2 − 2 B

AC−B^2

μP*+ A
AC−B^2
Cette expression représente l’équation générale de la frontière efficiente
des portefeuilles d’actifs risqués. Le portefeuille, minimum variance est celui

pour lequel on a :

∂σP^2

∂μP*

= 0. On vérifie que μP*=

B

C

et on en déduit que :

σP^2 *=

C

AC−B^2 (

B

C)

2

− 2

B

AC−B^2

B

C

+

A

AC−B^2

Après simplification, il vient que : σP^2 *=^1

C

(voir figure 3).