a.Calculer les poids du portefeuille, ω=μP*−rf
(μe)′Ω −^1 μeΩ−^1 μeb.Calculer la variance du portefeuille, σP^2 =ω′Ω ω
2.Refaire l’étape 1. Pour différentes valeurs de rendement désiré μ*p.On peut déterminer une expression donnant les caractéristiques financiè-
res du portefeuille de tangence connaissant l’équation de la frontière effi-
ciente d’actifs risqués. On détermine l’équation de la frontière efficiente en
présence d’actif sans risque ainsi que l’équation de la frontière d’actifs ris-
qués. Le portefeuille de tangence s’obtient directement par l’égalité entre
les pentes des deux frontières. D’après l’équation de la variance σP^2 =ω′Ω ω.
Les poids du portefeuille qui minimise la variance en présence d’actif sans
risque sont donnés par ω=
μP*−rf
(μe)′Ω −^1 μeΩ−^1 μe. On remplace ω par sa valeurdans l’équation de la variance. :
σP^2 =
(μP*−rf
(μe)′^ Ω−^1 μeΩ−^1 μe
)′
Ω
(μ*P −rf
(μe)′Ω −^1 μeΩ−^1 μe
)σP^2 =
(μP*−rf
(μe)′^ Ω−^1 μe)2
(μe)′ (^) Ω− (^1) ΩΩ− (^1) μe d’où σ 2
P=
(μP−rf)^2
((μe)′Ω^ −^1 μe)
Dans la mesure où (μe)′Ω −^1 μe =Ω−^1 μe(μe)′ et Ω−^1 est égale à sa transpo-
sée. On pose (μe)′Ω −^1 μe=Ae et on prend la racine carrée puisque l’on tra-
vaille avec des quantités positives. σP =
μP−rf
[(μe)′Ω^ −^1 μe]
1 / 2. En général pour les
portefeuilles efficients, on vérifie effectivement que : μP= rf + AeσP , avec
Ae =((μe)′Ω −^1 μe)^1 /^2
On remarque qu’en présence d’un actif sans risque, la frontière efficiente
se transforme en une ligne droit d’ordonnée à l’origine rf et de pente