point T est donnée par :
δμp
δσp=μT−rf
σTLa pente de la frontière efficiente d’ac-tifs risqués est donnée par :
δμp
δσp=δμp
δσp^2δσp^2
δσp=δσp^2
δσp
δσp^2
δμp=2 σT
2 aμT+bL’égalité des pentes donne :μT−rf
σT=2 σT
2 aμT+b(μT−rf)(^2 aμT+b)=^2 σ
T^22 aμT^2 +bμT− 2 aμTrf −brf = 2 aμT^2 + 2 bμT+ 2 cμT(−b− 2 arf)= brf + 2 cμT =brf + 2 c
−b− 2 arf.Exemple :
On considère un marché constitué de trois titres risqués i,j,k. leurs rende-
ments espérés respectifs sont de 12%, 14% et 19%. On suppose que le
marché est uniformément réparti entre les trois titres. Le portefeuille de mar-
ché a un risque de 15 % et le portefeuille minimum-variance a un rende-
ment de 10% et un risque de 10%. Déterminer l’équation de la frontière effi-
ciente des portefeuilles composés des trois titres.
μi= 12 % ; μj= 14 %; μk = 19 % ; μ*p = σp*= 10 % ; σM = 15 %σp^2 =v+σp^2 * ou encore v =σp^2 −σp^2 *, et μp=e+μp* ou encore e =μp−μp*L’équation de la frontière efficient, v = f(e^2 ) est une parabole pouvants’écrire sous sa forme réduite comme étant : v = ae^2. On remplace e et v par
leur valeur, on obtient :