Gestion de Portefeuille et Applications

de telle sorte que ωi=

1

n

. On sait que l’expression de la variance d’un porte-

feuille constitué de n titres comporte n termes de variances et n(n− 1 ) ter-
mes de covariances. On définit la moyenne en général comme étant la
somme des termes divisée par le nombre de termes.

σP^2 =

n

∑i= 1

n

∑j= 1 ωiωjσij=

n

∑i= 1 ω

i^2 σi^2 +

n

∑i= 1

n

j∑= 1

j≠i

ωiωjσij

σP^2 =^1
n

n

∑

i= 1

σi^2

n

+ n−^1

n

n

∑

i= 1

n

∑

j=j≠i 1

σij

n(n− 1 )

On définit, σii=

∑ni= 1 σi^2

n

la variance moyenne et σij=

∑ni= 1

n

∑

j=j≠i 1

σij

n.(n− 1 )

la cova-

riance moyenne. En remplaçant les moyennes dans l’expression donnant la
variance du portefeuille, on obtient l’expression :

σP^2 =^1
n

σii+ n−^1

n

σij=^1

n

(σii−σij)+σij

La limite de cette quantité quand n tend vers l’infini est σij (voir Figure 1).

Toutes choses égales par ailleurs, on remarque que la variance d’un porte-
feuille diversifié diminue avec l’augmentation du nombre de titres. Pour un
nombre très grand de titres, la variance du portefeuille baisse jusqu’à une
certaine limite égale à σij. Ceci signifie qu’il doit y avoir un nombre optimal

de titres au-delà duquel, la diversification n’apporte rien en termes de réduc-
tion du risque. Autrement dit, il existe toujours une certaine quantité de ris-
que σij qu’il n’y a pas moyen d’éliminer par une simple stratégie de diversifi-

cation.