On présentera dans ce qui suit la solution optimale pour un investisseur
averse au risque qui diversifie son portefeuille entre actifs risqués et non ris-
qués. On considère une fonction d’utilité du type moyenne-variance, U.
U(Rp)=Rp−[RP−(RP)]
(^2) k
2
E[U(Rp)]=E(Ep)−
k
2
Var(Rp)
E[U(Rp)]=μp−
k
2
σp^2
On commence par étudier le cas d’un portefeuille constitué d’un titre risqué
i et de l’actif sûr. On cherche le portefeuille optimal pour un investisseur qui
a une fonction d’utilité moyenne-variance.
max E[U(Rp)]=E(Rp)− k
2
Var(Rp) avec
Rp=ωiRi+( 1 −ωi)rf =ωi(Ri−rf)+rf =ωiRie+rf avec (Ri−rf)= Rie repré-
sente le rendement en excès par rapport au taux sans risque.
On remplace Rp par sa valeur dans la fonction objectif, on obtient :
E[U(Rp)]=ωiE(Rie)+rf −ωi^2 k
2
Var(Rie)
E[U(Rp)]=ωiμie+rf −ωi^2 k
2
σi^2
Condition de premier ordre (c.p.o)
∂E[U(Rp)]
∂ωi
= 0 =μie+rf −ωikσi^2 d’où l’on tire la stratégie optimale dans ce
cas :