∫
+∞logSE 0eyΦt(y)dy =∫
+∞logSE 0eμt+0,5σ^2 t^1
σ 2 πte2 ytσ^2 t−y^2 t+ 2 μtyt−μ^2 t^2
2 σ^2 t e−μt−0,5σ^2 tdy= ∫
+∞logSE 0eμt+0,5σ^2 t^1
σ 2 πte2 ytσ^2 t−y^2 t+ 2 μtyt−μ^2 t^2 −σ^4 t^2 − 2 μtσ^2 t
2 σ^2 t dy= ∫
+∞logSE 0eμt+0,5σ^2 t1
σ 2 πte2 ytσ^2 t−y^2 t+ 2 μtyt−μ^2 t^2 −σ^4 t^2 − 2 μtσ^2 t
2 σ^2 t dyCeci est équivalent à écrire que :
∫
+∞logSE 0eyΦt(y)dy =∫+∞logSE 0eμt+0,5σ^2 t1
σ 2 πte(yt−(μt+σ^2 t))2
2 σ^2 t dyOn inverti les limites de l’intégrale et on les multiplie par moins un pour obtenir la
forme usuelle d’une loi normale centrée et réduite :
∫
+∞logSE 0eyΦt(y)dy =∫+∞
logSE 0 −μt−σ^2 t
σ tft(y)dy = ∫−log
SE 0 −μt−σ^2 t
σ t
−∞ft(y)dy∫
+∞logSE 0eyΦt(y)dy =∫+∞
logSE 0 −μt−σ^2 t
σ tft(y)dy= ∫
−log
SE 0 −μt−σ^2 t
σ t
−∞ft(y)dy =eμt+0,5σ^2 tN−logSE 0 +μt+σ^2 t
σ t