Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

E(dC)=

∂C

∂t

dt+SμS

∂C

∂S

dt+

1

2

S^2 σS^2

∂^2 C

∂S^2

dt

E(dC)=
(

∂C

∂t

+SμS

∂C

∂S

+

1

2

S^2 σS^2

∂^2 C

∂S^2 )

dt

Or on sait que E(dC
C )

=μCdt

E(

dC

Cdt)

=

∂C

∂t +SμS

∂C

∂S +

1

2 S

(^2) σS 2 ∂^2 C
∂S^2
C
μC =
∂C
∂t +SμS
∂C
∂S +
1
2 S
(^2) σS 2 ∂^2 C
∂S^2
C
On a donc une relation entre les paramètres stochastiques μC de l’option et
μS et σS de l’action. Comme on va le voir plus tard que:
μC =
θC+SμSΔC+^12 S^2 σS^2 ΓC
C
avec θC= ∂C
∂t

, ΔC = ∂C

∂S

et ΓC= ∂

(^2) C
∂S^2
On calcule maintenant la partie non anticipée de dC:
dC−E(dC) =CμCdt+CσCεC dt−
(

∂C

∂t

+SμS

∂C

∂S

+

1

2

S^2 σS^2

∂^2 C

∂S^2 )

dt

Or, CμCdt−
(

∂C

∂t

+SμS∂C

∂S

+^1

2

S^2 σS^2 ∂

(^2) C
∂S^2 )
dt = 0 , d’où
dC−E(dC) =CσCεC dt
On calcule maintenant la partie non anticipée de dS: