Exercices Corriges en Gestion de portefefeuille

Exercice 5: Programme d'optimisation

Il n’est pas souvent aisé de sélectionner tous les actifs du portefeuille de marché. L’alternative

est de trouver un portefeuille composé d’un ensemble de n titres qui duplique le portefeuille

de marché par la minimisation de la variance de la différence des rendements. En particulier

on suppose que le portefeuille désiré a un taux rendement aléatoire rM et qu’il existe n titres

avec des taux de rendements aléatoires r 1 ,r 2 ,....,rn. On cherche à trouver le portefeuille

ayant le taux de rendement,r=ω 1 r 1 +ω 2 r 2 +⋯+ωnrnqui minimise la variance r−rM :

ℒ∶ minimiser var(ω 1 r 1 +ω 2 r 2 +⋯+ωnrn−rM)

s.⁄c.I

T ω= 1

Où I est le vecteur identité et T la transposée.

On pose x=(r 1 ,r 2 ,...,rn)

T le vecteur des rendements aléatoires. Σ=cov(x),

푠=(cov(r 1 ,rM),cov(r 2 ,rM),...,cov(rn,rM),)T et σM^2 =var(rM). On suppose que, Σ est une

matrice inversible.

Utiliser, Σ, 푠 , et σM

2 pour écrire une expression matricielle pour

var(ω 1 r 1 +ω 2 r 2 +⋯+ωnrn−rM)

Ecrire les conditions de premier ordre pour ce programme quadratique.

Utiliser les conditions de premier ordre pour calculer une expression de la solution du

programme quadratique, ℒ.

Bien que ce portefeuille duplique le portefeuille désiré en termes de variance, ceci peut

être fait aux dépens de la moyenne. Une approche logique consiste à minimiser la

variance de l’erreur de duplication sous la contrainte de réaliser un rendement donné μb.

En faisant varier μb , on obtient une famille de portefeuilles dupliqués efficients. Le

programme quadratique de ce nouveau problème se présente sous la forme

ℒμ b

∶ minimiser var(ω 1 r 1 +ω 2 r 2 +⋯+ωnrn−rM)

s.⁄c.ITω= 1 et μTω≥μb

Où μ=E(x), e est le vecteur identité et T la transposée.

i) Quelles sont les conditions de premier ordre pour le nouveau programme quadratique.

= + + A B AB A B

2 B

2 A

2

p     2     ^0 ,^146875 p^38 ,^32 %

2 p=  =

 ( )= −   

2 p^1 ,^8895 p 2

1 EUR EU(R)= 3 , 604 %