Exercices Corriges en Gestion de portefefeuille

Or , d'où:

Exercice # 22: Portefeuille de minimum variance et portefeuille à beta-zéro

Soit E le vecteur des rentabilités espérées et la matrice  de covariance de deux portefeuilles A

et B efficients dont les caractéristiques sont les suivantes :

et

1 - Quelle est la rentabilité espérée et la variance du portefeuille de marché M, sachant qu’il est

composé pour 60% dans A et pour 40% dans B?

2 - Quelle est la composition du portefeuille efficient de variance minimale m exprimée en

proportion de A et B?

3 - Quelle est la rentabilité espérée du portefeuille Z à beta-zéro? Quelle est la covariance entre

le portefeuille de variance minimale m et le portefeuille Z?

4 - Représenter graphiquement la frontière efficiente dans le plan 휎−퐸. Placer le portefeuille

Z, que remarque-t-on?

5 - Montrer de manière analytique que, dans le plan 휎^2 −퐸, l’ordonnée à l’origine de la droite

passant par le portefeuille de marché et le portefeuille de variance minimale est égale à la

rentabilité espérée du portefeuille Z. En déduire une manière simple de trouver les coordonnées

de Z dans le plan 휎

2

−퐸 et faire la représentation graphique correspondante.

Solution:

1. 
   

2. 
   

( ) ( )

2

2

2

12 12 2

2

2

2

1

2 2

 3 =  + − 2  + 2  − 2  +

2

 12 = 1 = ( − )+ ( − )+ 

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

2 2

 3     2  2  

= 0 , 4 ( 0 , 007546 − 0 , 002856 )+ 0 , 4 ( 2  0 , 002856 − 2  0 , 007546 )+ 0 , 007546 

2 2

 3

0 , 0045444

2

 3 =

E=













020

010

,

,













=

0 0. 0025

0. 0081 0

M=AA+BBM= 0 , 6  0 , 2 + 0 , 4  0 , 1 M= 16 %

= +( − ) + A( − A) AB

2

B

2

A

2

A

2

A

2

M  1   2  1   ( )

2

B

2

A

2

A

2

A

2

M=  + 1 − 

 =( 0 , 6 ) ( 0 , 0081 )+( 0 , 4 ) ( 0 , 0025 )

2 2 2

M^0 ,^003316 M^0 ,^05758472

2

M=  =

( ) A( A) AB

2

B

2

A

2

A

2

A

2

p=  + 1 −  + 2  1 − 

A B AB

2

A A B AB A

2

B

2

A

2

A B

2

B

2

A

2

A

2

p=  + − 2   +  + 2     − 2    