( 2 푥+푦)푑푥+푥푑푦− 2 푧푑푧
La condizione dell’ esistenza della primitiva è:푃푌 ′ =푄푋 ′ , 푅푋 ′ =푃푍 ′ , 푄푍 ′ =푅푌 ′Siccome 푃= 2 푥+푦 , 푄=푥 , 푅= − 2 푧 si ha :푃푌 ′ =푄푋 ′ = 1 , 푅푋 ′ =푃푍 ′ = 0 , 푄푍 ′ =푅푌 ′ = (^0)
quindi esiste la funzione primitiva U(x,y,z) , che la calcoliamo con la formula :
푈(푥,푦,푧)=∫ 푃(푥,푦,푧)푑푥+∫푄(푥 0 ,푦
푦푦 0,푧)푑푦+∫푅(푥 0 ,푦 0 ,푧)푑푧 + 퐶
푧푧 0푥푥 0
prendo come punto iniziale (xo , yo , zo ) = ( 0, 0, 0 ) allora si ha :푈(푥,푦,푧)=∫( 2 푥+푦)푑푥+∫ 0
푦0푑푦+∫− 2 푧푑푧 + 퐶
푧0푥0푈(푥,푦,푧)=푥^2 +푥푦−푧^2 +푐 (^)
퐿=∫ ( 2 푥+푦)푑푥+푥푑푦− 2 푧푑푧
푂푃=푈(푃)−푈(푂)=푈( 1 , 1 , 1 )−푈( 0 , 0 , 0 )= 1
Esercizio
Sia un punto materiale di massa M fissata nel punto O dello spazio. Calcolare il lavoro che si
compie dalla forza gravitazionale della massa M quando un punto materiale di massa m si sposta
dal punto A (x 1 , y 1 , z 1 ) nel punto B (x 2 , y 2 , z 2 ).
Soluzione.
Si sa che la forza gravitazionale tra le masse m e M è data con la formula :
퐹^ =−푘
푚 푀
푟^3
푟
ABOmrxzy