Nota 1.
Rotore del campo 푭⃗⃗⃗^ =(푷,푸,푹) in un punto (x,y,z) è il vettore:푟표푡 퐹^ =(
휕푅
휕푦
−
휕푄
휕푧
) 푖 +(
휕푃
휕푧
−
휕푅
휕푥
) 푗⃗⃗ + (
휕푄
휕푥
−
휕푃
휕푦
) 푘⃗^
Con questo simbolo la formula di Stokes , si scrive:∫∫푟표푡 퐹
→
⋅푑푠
푆=∮퐹
→
⋅푑푟
→
퐿( 1 )
Divergenza del campo 푭⃗⃗⃗^ =(푷,푸,푹) in un punto (x,y,z) è la somma delle derivate prime
parziali dei suoi componenti rispetto a x, y, z, cioè il numero:푑푖푣퐹⃗⃗⃗^ =
휕푃
휕푥
+
휕푄
휕푦
+
휕푅
휕푧
Con questo simbolo la formula di Gauss- Ostrogradskij si scrive :∫∫∫푑푖푣퐹
→푇⋅푑푣 = ∮∮
푆퐹
→
⋅→푛 푑푠
è si dice Teorema della Divergenza.Esercizio. Usando il teorema della divergenza calcolare il flusso totale del campo
퐹^ =( 1 ,푦^3 ,푧) che esce dal cilindro 푆: 푥^2 +푦^2 ≤ 1 푐표푛 2 ≤푧≤ 4.
Soluzione.
Φ= ∫∫ 퐹^
푠∙푛⃗ 푑푠=∫∫∫ 푑푖푣(퐹^ ) 푑푥 푑푦 푑푧
푉
calcoliamo 푑푖푣(퐹^ ) = 3 푦^2 + 1
Il flusso totale si ottiene :
Φ= (^) ∫∫∫푉( 3 푦^2 + 1 ) 푑푥 푑푦 푑푧= (^3) ∫∫∫푣 푦^2 푑푥 푑푦 푑푧+∫∫∫푣 푑푥 푑푦 푑푧= 3 ∙퐼 1 +퐼 2
Calcoliamo gli integrali 퐼 1 푒 퐼 2.
퐼 1 =∫ 푑푧 ∫∫ 푦^2 푑푥 푑푦
퐷푥푦
4
2
la proiezione 퐷푥푦 del cilindro nel piano xy è un cerchio che ha per equazioni polari
{
푥=휌cos휃
푦=휌sin휃^ 푐표푛^0 ≤휃≤^2 휋^ 푒^0 ≤휌≤^1 per cui si ha^
퐼 1 =∫ 푑푧 ∫∫ 휌^2 푠푖푛^2 휃 ∙휌 푑휃 푑휌
퐷휃휌
4
2
=∫푑푧
42∫ 푠푖푛^2 휃
2 휋0푑휃 ∫휌 푑휌
10=
1
2
휋
L’integrale 퐼 2 è il volume del cilindro dato di raggio 1 e di altezza 2 si ha:
퐼 2 = 휋∙ 12 ∙ 2 = 2 휋
quindi il flusso totale richiesto è:
Φ= 3 ∙퐼 1 +퐼 2 = 3 ∙