http://www.lescienze.it Le Scienze 93
«Ah-ha! Visto? Visto? Proprio come immaginavo!», esclama Pio-
tr con espressione deliziata.
La dottoressa Riddle corruga la fronte, mentre il dottor D’Alem-
bert non riesce a produrre altro che una smorfia.
«Capito, testoni?», prosegue affabile Piotr. «Su ogni alberello
si era posata una rondine, e quando il nostro splendido felino si è
lanciato nel boschetto, le rondini si sono spostate da un albero a
quello più vicino! Quindi, la condizione del problema è rispettata!»
La smorfia sul volto di Rudy peggiora a vista d’occhio; la fronte
corrugata di Alice somiglia sempre di più a una collezione di pic-
coli Grand Canyon.
«Di quale maledetto problema stai parlando, Doc?»
«Ma lo avete praticamente visto in atto! Avrete ben notato che
su ogni giovane albero si era posata esattamente una rondine, e...»
«Rudy, quanti alberelli hai piantato?», chiede brusca Alice. Pri-
ma che Rudy possa rispondere, Piotr riprende a parlare.
«Non importa, Treccia! Alla fin fine, il numero N di alberi e ron-
dini è solo un parametro! Anzi, la questione è proprio questa: dopo
che ogni rondine ha cambiato albero, può capitare che sullo stes-
so albero si posino due rondini; ma per quali valori di N si avrà la
certezza che ci sarà almeno un albero con almeno due rondini?»
«Hai infilato due “almeno” in una sola frase. Nonostante la tua
abominevole passione per gli avverbi sia ben nota, immagino che
non sia ancora finita, vero?»
«Ma certo! È anche naturale chiedersi se esiste un numero mas-
simo di rondini che si possano ritrovare sullo stesso albero, dopo il
piccolo volo di migrazione.»
«Ah, ecco. Tu che ne dici, Rudy?»
Rudy si alza dal divano, posa la pipa e si avvicina alla porta, vici-
no alla quale sono ancora posate zappa e vanga: «Beh, ora è chiaro
perché fosse necessario che tutte le distanze relative degli alberel-
li fossero diverse tra loro: perché le rondini potessero individuare
con facilità l’albero più vicino al proprio. E immagino che quel che
Doc metteva sugli alberi dopo che li avevo piantati fosse una sorta
di delizia gastronomica per rondini, in grado di attirarle: probabil-
mente qualcosa anche un po’ pesante, di modo che i volatili, pur
spaventati, potessero spiccare il volo a fatica, quel tanto che basta-
va a cambiare albero, non certo a librarsi leggeri nel cielo. Se que-
ste premesse sono giuste, risolvere il problema è facile.»
Piotr guarda ammirato l’amico: «Dovevo aspettarmelo, da uno
come te. Premesse correttissime, GC! Hai davvero già risolto il
problema?»
«Certo», sorride Rudy, prendendo in mano zappa e vanga: «Ma
non solo questo: risolvo subito anche il più grande problema del-
la mia vita: ti porto giù in giardino e ti pianto come un alberello in
mezzo al tuo boschetto, dannato schiavista!»IL PROBLEMA DI LUGLIO
La soluzione del problema esposto in queste pagine sarà
pubblicata in forma breve a settembre e in forma estesa
sul nostro sito: http://www.lescienze.it. Potete mandare le vostre
risposte all’indirizzo e-mail: [email protected].di Rodolfo Clerico,
Piero Fabbri e
Francesca Ortenzio
Il problema del mese scorso riguardava cinque personaggi che, indos-
sando cappucci (tra sei disponibili) corredati dai primi sei numeri natu-
rali e potendo ognuno vedere i numeri dei compagni ma non il proprio,
pronunciano il numero più grande e il numero più piccolo che vedono, e
devono indovinare il proprio. È evidente che i due numeri più alti dell’in-
sieme sono facilmente individuabili: il maggiore è pronunciato da tut-
ti tranne che da colui che lo indossa; il secondo è subito riconosciuto dal
portatore del numero più grande (è il «numero più grande» enunciato da
lui), e tutti gli altri possono facilmente dedurlo a loro volta. Lo stesso vale
anche per i due numeri più piccoli.
Quindi, detti a 1 < a 2 < a 3 < a 4 < a 5 i numeri sui cappucci, a 1 , a 2 , a 4 e a 5
sono certamente enunciati da qualcuno, e tutti i portatori di questi nu-
meri sono in grado di dedurre con certezza il proprio. Non verrà mai pro-
nunciato invece il numero a 3 ; chi lo indossa, peraltro, vede tutti i quattronumeri pronunciati e sa pertanto di essere il portatore di a 3. La «proba-
bilità che tutti conoscano con certezza il proprio numero» si riduce per-
tanto alla probabilità che il portatore di a 3 conosca il proprio: questo av-
verrà se tra a 2 e a 4 c’è spazio per un solo numero: se invece a 4 - a 2 = 3, il
portatore di a 3 potrà solo provare a indovinarlo, con probabilità 0,5. Si ve-
de che se tra i sei cappucci disponibili quello non indossato ha il numero
1, 2, 5 o 6, il numero a 3 potrà essere individuato con certezza: se invece
il cappuccio escluso è il 3 o 4, questo non può avvenire. Ne segue che
la probabilità che tutti «conoscano con certezza il proprio numero» è 2/3
(trascurando il fatto che il portatore di a 3 può comunque «indovinare» il
proprio con probabilità 0,5).
La formula generale per n cappucci e k persone è data dal rapporto tra
due coefficienti binomiali: (n-k+ 33 )
(nk), che è funzione tutt’altro che ottimi-
stica.