Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

(Mehdi Shkreli) #1

Gli integrali di superficie su due cerchi proiettati sul piano xz valgono zero.
Rimane solo l’integrale sulla superficie cilindrica quindi:


= ∫∫


Scilin

I F ( x , y , z ) dx dz


Parametrizzando la superficie cilindrica con le coordinate cilindriche:
x =1 cosθ
y =1 sinθ
z = z







con 0 ≤θ≤ 2 π, 0≤ z ≤ 1

si ha inoltre


dx dz d θ dz θ d θ dz


θ
⋅ =− ⋅


= sin
0 1

sin 0


sostituendo nell’integrale si ottiene:


∫∫


≤ ≤

≤ ≤

= − ⋅ ⋅


0 1

0 2

(cos ,sin , ) sin


z

I F z d dz


θ π

θ θ θ θ


Nota 1.
Rotore del campo III 䙒䙒䙒ጘ= 䙦iii,iv,v䙧 in un punto (x,y,z) è il vettore:

ᡰᡧᡲ ᠲጘ㐄 㐶

′′′ᡄ
′′′ᡷ ㎘

′′′ᡃ
′′′ᡸ 㑀⠵ጘ ㎗㐶

′′′ᡂ
′′′ᡸ ㎘

′′′ᡄ
′′′ᡶ 㑀⠶䙒䙒ጘ^ ㎗ 㐶

′′′ᡃ
′′′ᡶ ㎘

′′′ᡂ
′′′ᡷ 㑀ᡣ

䙒ጘ

Con questo simbolo la formula di Stokes , si scrive:

∫∫ ⋅ =∫ ⋅ )1(


S L

rot F ds F dr

Nota 2.
Divergenza del campo III 䙒䙒䙒ጘ= 䙦iii,iv,v䙧 in un punto (x,y,z) è la somma delle derivate prime
parziali dei suoi componenti rispetto a x, y, z, cioè il numero:

ᡖᡡᡴᠲ    䙒䙒䙒ጘ㐄

′′′ᡂ
′′′ᡶ ㎗

′′′ᡃ
′′′ᡷ ㎗

′′′ᡄ
′′′ᡸ^

Con questo simbolo la formula di Gauss- Ostrogradskij si scrive :

div F dv F n ds


T S

∫∫∫ ⋅ = ∫∫ ⋅


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