Gli integrali di superficie su due cerchi proiettati sul piano xz valgono zero.
Rimane solo l’integrale sulla superficie cilindrica quindi:

= ∫∫

Scilin

I F ( x , y , z ) dx dz

Parametrizzando la superficie cilindrica con le coordinate cilindriche:
x =1 cosθ
y =1 sinθ
z = z









con 0 ≤θ≤ 2 π, 0≤ z ≤ 1

si ha inoltre

dx dz d θ dz θ d θ dz

θ

⋅ =− ⋅

−

= sin

0 1

sin 0

sostituendo nell’integrale si ottiene:

∫∫

≤ ≤

≤ ≤

= − ⋅ ⋅

0 1

0 2

(cos ,sin , ) sin

z

I F z d dz

θ π

θ θ θ θ

Nota 1.

Rotore del campo III    䙒䙒䙒ጘ= 䙦iii,iv,v䙧 in un punto (x,y,z) è il vettore:

ᡰᡧᡲ ᠲጘ㐄 㐶

′′′ᡄ

′′′ᡷ ㎘

′′′ᡃ

′′′ᡸ 㑀⠵ጘ    ㎗㐶

′′′ᡂ

′′′ᡸ ㎘

′′′ᡄ

′′′ᡶ 㑀⠶䙒䙒ጘ^ ㎗   㐶

′′′ᡃ

′′′ᡶ ㎘

′′′ᡂ

′′′ᡷ 㑀ᡣ

䙒ጘ

Con questo simbolo la formula di Stokes , si scrive:

∫∫ ⋅ =∫ ⋅ )1(

S L

rot F ds F dr

Nota 2.

Divergenza del campo III    䙒䙒䙒ጘ= 䙦iii,iv,v䙧 in un punto (x,y,z) è la somma delle derivate prime

parziali dei suoi componenti rispetto a x, y, z, cioè il numero:

ᡖᡡᡴᠲ    䙒䙒䙒ጘ㐄

′′′ᡂ

′′′ᡶ ㎗

′′′ᡃ

′′′ᡷ ㎗

′′′ᡄ

′′′ᡸ^

Con questo simbolo la formula di Gauss- Ostrogradskij si scrive :

div F dv F n ds

T S

∫∫∫ ⋅ = ∫∫ ⋅

→