Gli integrali di superficie su due cerchi proiettati sul piano xz valgono zero.
Rimane solo l’integrale sulla superficie cilindrica quindi:
= ∫∫
Scilin
I F ( x , y , z ) dx dz
Parametrizzando la superficie cilindrica con le coordinate cilindriche:
x =1 cosθ
y =1 sinθ
z = z
con 0 ≤θ≤ 2 π, 0≤ z ≤ 1
si ha inoltre
dx dz d θ dz θ d θ dz
θ
⋅ =− ⋅
−
= sin
0 1
sin 0
sostituendo nell’integrale si ottiene:
∫∫
≤ ≤
≤ ≤
= − ⋅ ⋅
0 1
0 2
(cos ,sin , ) sin
z
I F z d dz
θ π
θ θ θ θ
Nota 1.
Rotore del campo III 䙒䙒䙒ጘ= 䙦iii,iv,v䙧 in un punto (x,y,z) è il vettore:
ᡰᡧᡲ ᠲጘ㐄 㐶
′′′ᡄ
′′′ᡷ ㎘
′′′ᡃ
′′′ᡸ 㑀⠵ጘ ㎗㐶
′′′ᡂ
′′′ᡸ ㎘
′′′ᡄ
′′′ᡶ 㑀⠶䙒䙒ጘ^ ㎗ 㐶
′′′ᡃ
′′′ᡶ ㎘
′′′ᡂ
′′′ᡷ 㑀ᡣ
䙒ጘ
Con questo simbolo la formula di Stokes , si scrive:
∫∫ ⋅ =∫ ⋅ )1(
S L
rot F ds F dr
Nota 2.
Divergenza del campo III 䙒䙒䙒ጘ= 䙦iii,iv,v䙧 in un punto (x,y,z) è la somma delle derivate prime
parziali dei suoi componenti rispetto a x, y, z, cioè il numero:
ᡖᡡᡴᠲ 䙒䙒䙒ጘ㐄
′′′ᡂ
′′′ᡶ ㎗
′′′ᡃ
′′′ᡷ ㎗
′′′ᡄ
′′′ᡸ^
Con questo simbolo la formula di Gauss- Ostrogradskij si scrive :
div F dv F n ds
T S
∫∫∫ ⋅ = ∫∫ ⋅
→