9.2 Integrali delle funzioni goniometriche dei tipi :ᔖ᠙᠉᠔↕∆ ᠙᠉᠔↖∆ ↆ∆ , ᔖ᠃᠕᠙↕∆ ᠃᠕᠙↖∆ ↆ∆ , ᔖ᠙᠉᠔↕∆᠃᠕᠙↖∆ ↆ∆
Questi integrali si calcolano con aiuto delle formule seguenti della trigonometria:
sinᡓ cosᡔ =⡩⡰ [sin䙦ᡓ +ᡔ䙧 +sin䙦ᡓ −ᡔ䙧]
cosᡓ cosᡔ =
1
2 [cos䙦ᡓ +ᡔ䙧 +cos䙦ᡓ −ᡔ䙧]sinᡓ sinᡔ =⡩⡰ [cos䙦ᡓ −ᡔ䙧 −cos䙦ᡓ +ᡔ䙧]
Esercizi.
- (^) ᔖsin3ᡶ sin5ᡶ ᡖᡶ
- ᔖcos4ᡶ cos3ᡶ ᡖᡶ
- ᔖsin5ᡶcos4ᡶ ᡖᡶ.
9.3 Integrali del tipo:
㔅ↅ↗∁ ↕ ∆ ∁↑↖ ↖ ∆ ↆ∆
Abbiamo due casi:
1° Caso Almeno uno degli esponenti m oppure n, è dispari:
a) se n è dispari si pone : cos x = t
b) se m è dispari si pone : sin x = t.
Esempi:
a) ᠵ = ᔖᡕᡧᡱ ⡲ ᡶ ᡱᡡᡦ ⡱ ᡶ ᡖᡶ pongo cos x = t , si ha - sin x dx = dt si ottiene
ᠵ = −ᔖᡕᡧᡱ ⡲ ᡶ ᡱᡡᡦ ⡰ ᡶ ᡱᡡᡦᡶ ᡖᡶ = −ᔖᡲ⡲ 䙦1−ᡲ⡰䙧ᡖᡲ = ⋯..
b) ᠵ =ᔖ 〰あう
ㄡ け
⤩⤙⤤け √⤩⤙⤤け ᡖᡶ si ha
ᠵ =ᔖᡕᡧᡱ ⡳ ᡶ ᡱᡡᡦ ⡹
ㄙ
ㄘ ᡶ ᡖᡶ = ᔖᡕᡧᡱ ⡲ ᡶ ᡱᡡᡦ ⡹
ㄙ
ㄘ ᡶ ᡖ䙦sinx䙧
ponendo sin x = t si ottiene
ᠵ = ᔖ䙦1 −ᡲ⡰䙧⡰ ᡲ⡹
ㄙ
ㄘ ᡖᡲ = ⋯..
2° Caso Esponenti m ed n sono entrambi pari e positivi. In questo caso si trasforma
l’espressione sotto il segno d’integrazione, per mezzo delle formule trigonometriche di
duplicazione:
ᡕᡧᡱ ⡰ ᡶ =
1
2 䙦1+cos2ᡶ䙧 ^
ᡱᡡᡦ ⡰ ᡶ =
1
2 䙦1−cos2ᡶ䙧 ^
sinᡶ cosᡶ =
1
2 sin2ᡶ^