Facciamo rotare il grafico della funzione f (x) intorno all’asse delle x. Si ottiene un corpo di
rotazione. Il volume dV di un disco infinitesimale in un punto x, di raggio f (x) e di altezza dx
sarà il prodotto ᡖᡈ = . ᡘ⡰䙦ᡶ䙧.ᡖᡶ. Tutto il volume del nostro corpo della rotazione sarà
la somma di tutti questi pezzi, cioè l’integrale definito:ᡈ = 㔅 ᡖᡈ〩
〨
oppureᡈ = . ᔖ〨〩 ᡘ⡰䙦ᡶ䙧 .ᡖᡶSe la rotazione si fa intorno all’asse delle y il volume del corpo di rotazione sarebbe:ᡈ = . ᔖ〰〱 ᡙ⡰䙦ᡷ䙧 .ᡖᡷ- Calcolo dell’integrale definito.
Integrale definito si può calcolare con la formula:
ᔖ〨〩ᡘ䙦ᡶ䙧 ᡖᡶ = ᠲ䙦ᡓ䙧−ᠲ䙦ᡔ䙧 (1)Dove F è una primitiva qualsiasi della funzione f.
La formula (1) porta il nome di Newton-Leibniz.Esempi :㔅sinᡶ ᡖᡶ = −cosπ−䙦−cos0䙧 = 1—䙦−1䙧ゕ⡨= 2㔅 sinᡶ ᡖᡶ = −cos2. −䙦−cos.䙧 = −1—1⡰ゕゕ= −2㔅 sinᡶ ᡖᡶ = −cos2π −䙦−cos0䙧 = −1+1 ⡰ゕ⡨= 0Da questi 3 esempi si vede che l’integrale definito può essere un numero positivo, negativo oppure
zero.
Se a < b l’integrale definito ᔖ〨〩ᡘ䙦ᡶ䙧 ᡖᡶ ha il segno della funzione f nell’ intervallo [a,b].
Chiamando “l’area algebrica” l’area con il segno della funzione, della regione piana limitata dal
grafico della funzione f, l’asse delle x e le rette x=a e x=b. Possiamo dire che l’integrale definito
calcola “la somma delle l’aree algebriche.