Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

Esempi.

1)^10

1

0

∫ = 2[ x ]

x

dx = 2 , l’integrale è convergente

2. ∫ = = +∞

1

0

1

0

ln x

x

dx , l’integrale è divergente.

3.  =− −− = +∞
   

 



=−

∫ 0 +

1 1 1

1

0

1

0 x^2 x

dx , l’integrale è divergente.

I tre esercizi si presentano geometricamente :

Integrale standard del secondo tipo :











+∞ ≥

<

∫ = −

,1.

,1 ,

1

1 1

(^0) se diverge
se converge
x
dx
β
β
β β^
Questo integrale ci servirà a confrontare integrali più complessi.
Alcune casi per definire la natura dell’integrale improprio del secondo tipo.
2 .1 Teorema
Siano f, g due funzioni nonnegative definite nell’intervallo limitato ]0, a],
se per ogni x in questo intervallo risulta che :
f(x) ≤ g(x)
allora:
a) se converge l’integrale ∫
a
g x dx
0
( ) allora converge anche ∫
a
f x dx
0
( )
b) se diverge l’integrale ∫
a
f x dx
0
( ) allora diverge anche ∫
a
gx dx
0
( ).
Esempio. L’integrale dx
x
x
∫
2
0
cos^2
è convergente perché :
1 1 1
x
1
x
1
(^12)
x
2
+∞ +∞^