Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

2.Calcolo dell’integrale doppio.

La zona D è regolare nella direzione dell’asse Y, vuol dire che ogni retta che passa per un punto
interno della zona taglia la frontiera al massimo due punti.
Esempi e controesempi..

Zona regolare nella direzione Y Zona nonregolare nella direzione Y.

Nel caso di una zona regolare della direzione y, la frontiera sotto e definita dalla funzione y 1 (x),
mentre la frontiera sopra dalla funzione y 2 (x) con lo stesso dominio il segmento a ≤ x ≤ b.
L’integrale doppio in questo caso si calcola con aiuto di due integrali definiti con la formula
seguente:

∫∫ =∫ ∫

D

b

a

y x

y x

f x y dx dy dx f x y dy

()

()

2

1

( , ) ( , )

Sempre si calcola prima l’integrale interno, poi l’integrale esterno.
Nel modo analogo si definisce la zona regolare nella direzione dell’asse X e si ottiene la formula :

∫∫ =∫ ∫

D

d

c

x y

x y

f x y dx dy dy f x y dx

()

()

2

1

( , ) ( , )

Esercizio. Calcolare l’integrale doppio.

∫∫

D

ydx dy in cui D ={( x , y :) x^2 + y^2 ≤ r^2 , y ≥ 0 }

Soluzione. Disegno la zona D, che rappresenta il mezzo cerchio di raggio r, sopra l’asse delle x.

• r r^

x

a a

y 1 (x)

y 2 (x)

b