Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

Conoscendo il cambio delle variabili T, l’integrale doppio si calcola con la formula:

∫∫ =∫∫

D D

f x y dx dy f xuv yuv J uv du dv

'

( , ) ( ( , ), ( , )) ( , ) ( 5)

Esercizio. Calcolare l’integrale doppio :

∫∫ −

D

( x y ) dx dy

nella zona D limitata dalle rette :
x+y=1 ,x+y = 3, 2x-y =1 , 2x-y = 4.

Pongoᡆ⡹⡩: 䚈

ᡳ 㐄 ᡶ ㎗ᡷ

ᡴ 㐄 2ᡶ ㎘ᡷ               ᡰᡡᡱᡧᡤᡴᡗᡦᡖᡧ          ᡩᡳᡗᡱᡲᡧ          ᡱᡡᡱᡲᡗᡥᡓ     ᡱᡡ      ᡧᡲᡲᡡᡗᡦᡗ         ᡆ:  䚈

ᡶ 㐄⡩⡱ᡳ ㎗⡩⡱ᡴ

ᡷ 㐄⡰⡱ᡳ ㎘⡩⡱ᡴ

̄ ̄

Calcoliamo il jacobiano :

ᠶ䙦ᡳ,ᡴ䙧= 㘨ᡶえ

䖓 ᡶぉ䖓

ᡷえ䖓 ᡷぉ䖓㘨        =       䜠

1

3

1

3

2

3 −

1

3

䜠   =   −

1

3

Nota: Più facile, senza risolvere il sistema , potevamo calcolare il direttamente

ᠶ䙦ᡶ,ᡷ䙧= 䜈

ᡳけ䖓 ᡳげ䖓

ᡴけ䖓 ᡴげ䖓䜈        =       䚘

1 1
2 −1䚘 = −3^
poi dalla formula (4) potevamo trovare lo stesso risultato:

ᠶ䙦ᡳ,ᡴ䙧  =   −⡩⡱.

Adesso possiamo calcolare l’integrale dato con la formula (5):

㔉䙦ᡶ −ᡷ䙧ᡖᡶᡖᡷ = 㔉㐶

1

3

ᡳ +

1

3

ᡴ −

2

3

ᡳ +

1

3

ᡴ㑀

1

3

ᡖᡳᡖᡴ =

1

9

㔉䙦−ᡳ +2ᡴ䙧ᡖᡳᡖᡴ =
々 々䖔 々䖔
=⡩⡷ᔖ⡩⡱ᡖᡳ ᔖ⡩⡲䙦−ᡳ +2ᡴ䙧ᡖᡴ =⡷⡩ᔖ⡩⡱ᡖᡳ 䙦−ᡳᡴ +ᡴ⡰䙧⡩⡲=⡷⡩ᔖ⡩⡱䙦−3ᡳ +15 䙧ᡖᡳ = 2.

1

3

1

3

D x

0

y

2x-y=1

2x-y=4

x+y=1

x+y=3

(^13)
1
4
D'
u
0
v
T