Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

㐄

1

4 䙴ᡲ    

㒓1 ㎗ᡲ⡰㎗ ᡤᡦ䚘ᡲ ㎗㒓1 ㎗ᡲ⡰䚘䙵

⡨

⡰

㐄

1

4 㐧^2

√ 5  ㎗  ᡤᡦ㘧2㎗√ 5 㘧㐱

4. Caso. La curva è piana ed è data con l’equazione cartesiana x = x (y) con c ≤ y ≤ d.
   In questo caso abbiamo dy = 1 dy mentre ᡖᡶ 㐄 ᡶ′䙦ᡷ䙧∙ᡖᡷ

mentre dr = ( x (' y ))^2 + 1 dy quindi la formula del calcolo in questo caso è :

∫ L f(x,y) dr = ∫

d

c

f(x,y(x)). ( x (' y ))^2 + 1 dy ( 4 )

Esercizio 4.
Calcolare l’integrale:

( x 5 y y^2 )1 dr dové AB lè ' arco della parabola x y^21 con A ,0( ),1 B )0,1(

AB

∫ + + − =− + −

Soluzione:

Dalla formula ( 4 ) si ottiene:

I x y y dr y y y y dy y y dy

AB

2

1

2

0

1

0

1

= ( + 5 +^2 − )1 = (−^2 + 1 + 5 +^2 − )1 (− 2 )^2 + 1 = 5 4( + )1

∫ ∫− −∫

1( 5 5 )

12

4( )1^5

3

2

8

4( )1 4( )1^5

8

5 4( )1^5

0

1

2

3

2 2

0

1

2

1

2 2

1

2

0

1

 = −











= + = + + = ⋅ +

− − −

I ∫ y y dy ∫ y d y y

Osservazione importante :
Lunghezza elementare dr è positiva perciò in tutti questi casi dt, dx, dy che escono dalla radice
quadrata della dr si considerano positive, quindi i variabili t, x, y devono essere crescenti
altrimenti bisogna mettere un segno meno davanti. Questo fatto assicura l’indipendenza dal
orientamento della curva del integrale curvilineo di primo tipo. In altre parole è vera
l’uguaglianza:

(^) AB ∫ f ( x , y ) dr = BA ∫ f ( x , y ) dr
A
O x
1
x^2
y
y
A
O B^ x^