Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

2

2( ) 3 2[ 2( )1 2 3 5( ) ( 2 )]^1 ( 22 6 )4^27

0

3

1

0

− + = ⋅ − ⋅ + ⋅ −^2 ⋅ − = − + − =−

∫ ∫ ∫

AB

x ydx ydy t t t dt t t dt

2. Caso. La curva piana AB è data con l’equazione cartesiana y = y(x) con a ≤ x ≤ b ,
   in questo caso calcolando ᡖᡶ 㐄 ᡖᡶ ᡓᡦᡕℎᡗ ᡖᡷ 㐄 ᡷ䖓䙦ᡶ䙧 ᡖᡶ e sostituendo nell’integrale si
   ottiene la formula del calcolo:

( , ) ( , )

AB

∫ P x y dx Q x y dy ⋅ + ⋅ = ᔖ〨〩㐧ᡂ㐵ᡶ,ᡷ䙦ᡶ䙧㐹㎗ᡃ㐵ᡶ,ᡷ䙦ᡶ䙧㐹ᡷ䖓䙦ᡶ䙧㐱       ᡖᡶ              䙦2䙧^

Esercizio 2.

Calcolare l’integrale I =∫ 3 x^2 dx + xdy dové AB laè curva y =ln xper 1 ≤ x ≤ 2
AB

Soluzione:

ᡖᡶ 㐄 ᡖᡶ ᡥᡗᡦᡲᡰᡗ ᡖᡷ 㐄⡩け ᡖᡶ

Dalla formula (2) si ottiene :

=∫ + =

AB

I 3 x^2 dx xdy 㔅 㐶3x⡰+x ∙   

1

x㑀dx = 8

⡰

⡩

3. Caso. La curva piana AB è data con l’equazione cartesiana x = x(y) con c ≤ y ≤ d,
   In questo caso calcolando ᡖᡶ 㐄 ᡶ䖓䙦ᡷ䙧 ᡖᡷ ᡓᡦᡕℎᡗ ᡖᡷ 㐄 ᡖᡷ e sostituendo nell’integrale si
   ottiene la formula del calcolo:

( , ) ( , )

AB

∫ P x y dx Q x y dy ⋅ + ⋅ = ᔖ〰〱[ᡂ䙦ᡶ䙦ᡷ䙧,ᡷ䙧ᡶ䖓䙦ᡷ䙧 ㎗ᡃ䙦ᡶ䙦ᡷ䙧,ᡷ䙧] ᡖᡷ 䙦3䙧^

Esercizio 3.

Calcolare il lavoro fatto dalla forza ᠲ 䙒䙒䙒ጘ= 䙦1; 2ᡶ䙧 sull’arco AO della curva x = sin y dove
ᠧ 㐄 䙦0,ゕ⡰ 䙧

Soluzione:

ᡖᡶ 㐄cosᡷ ∙ᡖᡷ ᡥᡗᡦᡲᡰᡗ ᡖᡷ 㐄 ᡖᡷ

Dalla formula (3) si ottiene :

B

A

(^1 2) x
A
O x