Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

y

x

x Q

dy

P 3 = 3

∂

∂ =− ≠ ∂

quindi questa forma non è esatta.

6.1Teorema
Siano P(x,y) e Q(x,y) due funzioni che hanno derivate parziali continue nella zona legata D.
Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

1) La forma differenziale P dx + Q dy è esatta in ogni punto della zona legata D.

2) Esiste una funzione U, che si dice primitiva , tale che il suo differenziale dU è uguale

con questa forma esatta:

dU = P dx + Q dy.

6.2 Teorema

Se U(x,y) è la funzione primitiva della forma esatta P dx + Q dy, allora l’integrale

curvilineo si può calcolare con la formula:

AB ∫ Pdx + Qdy = U ( B )− U ( A ) (1)

Dimostrazione:
Siano x = x(t) e y = y(t) con α ≤ t ≤ β l’equazioni parametriche di una curva liscia che unisce i
punti A e B.

Siano A = (x(α), y(α)) e B = (x(β), y(β)).
Allora si può scrivere:

∫ ∫ ∫ ∫ ∂

+∂

∂

= ∂

∂

+∂

∂

= B + = = ∂

A

B

A

B

A

dt

dt

dy

y

U

dt

dx

x

dy U

y

dx U

x

I Pdx Qdy dU U β

α

( )

Dentro le parentesi nell’ultimo integrale è la derivata della funzione composta:

U = U (x(t), y(t))

Per questo

ᠵ = 㔅

ᡖ

ᡖᡲ ᡇ㐵ᡶ

䙦ᡲ䙧,ᡷ䙦ᡲ䙧㐹       ᡖᡲ 㐄ᡇ㐵ᡶ䙦‐䙧,ᡷ䙦‐䙧㐹㎘   

め

む

ᡇ㐵ᡶ䙦 䙧,ᡷ䙦 䙧㐹 㐄ᡇ䙦ᠨ䙧㎘ᡇ䙦ᠧ䙧

c.v.d.