Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

3. Sostituendo in (3) si ottiene la primitiva richiesta.
   Esercizio 1.
   Calcolare la primitiva, se esiste, della forma differenziale:

2xy dx +䙦x⡰−e⤵䙧 d y
Soluzione.

ᡂ = 2ᡶᡷ ,                           ᡃ = x⡰−e⤵                       sicco m e               

∂P

∂y= 2x =

∂Q
∂x la p rim itiv a esiste.^
Scelgo P da integrare per inizio:

U䙦x,y䙧㐄 㔅2xy dx ㎗ C䙦y䙧
U䙦x,y䙧㐄 x⡰y㎗C䙦y䙧 䙦∗䙧
Troviamo adesso c(y).
Derivando (*) in y si ottiene :

ᡶ⡰㎗

ᡖᠩ

ᡖᡷ 㐄    x

⡰㎘e⤵

ᡖᠩ

ᡖᡷ 㐄    ㎘e

⤵

Integrando si ottiene:

ᠩ䙦ᡷ䙧㐄 㔅㎘ᡗげᡖᡷ 㐄 ㎘ᡗげ㎗ᡕ

Sostituendo in (*) si ottiene la primitiva richiesta:

U䙦x,y䙧㐄 x⡰y㎘ᡗげ㎗ᡕ

7.2 Secondo modo del calcolo della primitiva.
La funzione primitiva U(x,y) si può trovare usando la formula (2) ma possiamo troviamo una altra
formula più pratica.
Siccome l’integrale della forma esatta nella formula (2) non dipende dalla forma della curva che
unisce i punti A e B, allora scelgo per il calcolo la spezzata seguente ACB.
Abbiamo:

∫ + = ∫ + + ∫ +

ACB AC CB

Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy

Siccome

AC ∫ P ( x , y ) dx =^0 mentre AC ∫ =∫

y

y

Q x y dy Q x y dy

0

( , ) ( 0 , )