Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

Soluzione.

Area della superficie data si calcola con la formula

=∫∫

S

Area ( S ) dS

Nel nostro caso si ha che ᡸけ䖓 㐄 2ᡶᡗᡸげ䖓㐄 2ᡷ e dalla formula (2) si ottiene:

( ) 2( ) 2( ) 1 dx dy

Dxy

2 2

Area S = ∫∫ x + y +

Calcoliamo questo integrale doppio passando nelle coordinate polari:

㐠ᡶ 㐄 ..ᡕᡧᡱ‖ᡷ 㐄 ..ᡱᡡᡦ‖ ̄ con 0 ≤ ‖ ≤ 2.ᡗ                 0 ≤ .. ≤ ᡰ

ᠧᡰᡗᡓ 䙦ᡅ䙧㐄   㔅 ᡖ‖㔅㒓4..⡰㎗1    

ぅ

⡨

⡰ゕ

⡨

∙..ᡖ.. 㐄 2. ∙

1

8 㔅

䙦4..⡰   ㎗1䙧

⡩

⡰∙ᡖ䙦    4..⡰    ㎗1䙧㐄

ぅ

⡨

㐄   

.

6 㐨䙦4ᡰ

⡰㎗1䙧⡱⡰㎘1㐲

Esercizio3
Calcolare la massa della piastra conica di equazione x^2 + y^2 – z^2 = 0 con la densità di superficie
μ(x,y,z) = (x^2 + y^2 ) z , che si trova dentro al cilindro di equazione x^2 + y^2 = a^2 e sopra al piano xy.

x

r

r y^

z

O