- Integrale di superficie di secondo tipo.
Problema.
Trovare il flusso dell’acqua che esce in un secondo dalla superficie S.
Soluzione:
Sia
ᠲጘ䙦ᡶ,ᡷ,ᡸ䙧㐄 ᠲ⡩䙦ᡶ,ᡷ,ᡸ䙧⠵ጘ㎗ᠲ⡰䙦ᡶ,ᡷ,ᡸ䙧⠶ጘ㎗ᠲ⡱䙦ᡶ,ᡷ,ᡸ䙧ᡣ䙒ጘ
il vettore della velocitàin un punto (x,y,z) dell’acqua che esce dalla superficie S.
Sia
↖䙒䙒ጘ= cos ⠵ጘ + cos ‐ ⠶ጘ+ cos ‑ᡣ䙒ጘ
il vettore unitario della perpendicolare sulla superficie S nel punto (x,y,z).
Nella figura i vettori ᡖᡗᡤᡤᡓ ᡴᡗᡤᡧᡕᡡᡲà ᠲጘ䙦ᡶ,ᡷ,ᡸ䙧 e della p erp endicolare ↖䙒䙒ጘ䙦x,y,z䙧 formano un
angolo acuto ≖ , quindi loro prodotto scalare è un numero positivo:
ᠲぁ㐄 ᠲ∙cos‰ =ᠲጘ∙ᡦ 䙒䙒䙒ጘ= ᠲ⡩∙cos +ᠲ⡰∙cos ‐+ᠲ⡱∙cos ‑In questo caso il vettore III䙒䙒䙒䙒↖ጘ ha i verso della perpendicolare ↖䙒䙒ጘ, nel caso opposto questi due
vettori sono con i versi opposti.
Calcoliamo il flusso dell’acqua che passa attraverso della superficie S in un secondo.
Sia dS l’area di un pezzo infinitesimale della superficie S in un punto qualsiasi (x,y,z).
La quantità dell’acqua ᡖΦ che passa per il pezzo dS nell’unità del tempo sarà uguale al volume del
parallelepipedo con la base dS e l’altezza ᠲぁ, cioè:
ᡖΦ= ᠲぁ∙ᡖᡅTutto il flusso sarà l’integrale seguente:
Φ= 㔉 ᠲぁ∙ᡖᡅ
〠SnF Fndsφ