Misalkan 푓(푧)=푢(푥,푦)+푖푣(푥,푦). 푓 analitik dalam domain D ⇔ turunan
parsial pertama dari 푢 dan 푣 memenuhi persamaan Cauchy-Riemann:
푢
푥=푣
푦푑푎푛 푢
푦=−푣
푥atau휕푢
휕푥
=
휕푣
휕푦
푑푎푛
휕푢
휕푦
=−
휕푣
휕푥
Misalkan 푓
(
푥,푦
)
=푢
(
푥,푦
)
+푖푣(푥,푦) ananlitik. Maka휕푓휕푦=푖
휕푓휕푥berakibat:휕푢
휕푥
+
휕푣
휕푦
푖=푖(
휕푢
휕푥
+
휕푣
휕푦
푖)=−
휕푣
휕푥
+
휕푢
휕푦
Jadi diperoleh :
휕푢
휕푦
=−
휕푣
휕푥
푑푎푛
휕푣
휕푦
=
휕푢
휕푥
Yang biasa dikenal dengan persamaan Cauchy-Riemann.
Teorema 2
Jika 푓(푧)=푢(푥,푦)+푖푣(푥,푦) terdiferensiabel di 푧
0
=푥
0+푖푦
0, maka 푢(푥,푦)dan 푣(푥,푦) mempunyai turunan parsial pertama di (푥
0,푦
0) dan titik inidipenuhi persamaan Cauchy-Riemann
휕푢휕푥=
휕푣휕푦푑푎푛
휕푢휕푦=−
휕푣휕푥. Derivatif 푓 di
푧
0dapat diinyatakan dengan 푓′(푧
0)=푢
푥(푥
0,푦
0)+푖푣
푥(푥
0,푦
0).
Jika persamaan Cauchy-Riemann tidak dipenuhi di (푥
0,푦
0), maka 푓(푧)=푢(푥,푦)+푖푣(푥,푦) tidak terdeferensial di 푧
0=푥
0+푖푦
0.
Contoh:
Buktikan 푓
(
푧
)
=|푧|
2tidak terdiferensial di 푧≠ 0!Penyelesaian
Bukti: 푓
(
푧
)
=|푧|
2=푥
2+푦
2Sehingga 푢(푥,푦)=푥
2+푦
2푑푎푛 푣(푥,푦)= 0
Persamaan Cauchy-Riemann:
휕푢
휕푥
= 2 푥 푑푎푛
휕푢
휕푦
= 2 푦
휕푣
휕푥
= 0 푑푎푛
휕푣
휕푦
= 0
휕푢
휕푥
=
휕푣
휕푦
⇔ 2 푥= 0 ( 1 )
dan
휕푢휕푦=−
휕푣휕푥⇔ 2 푦= 0 ( 2 )
dari (1) dan (2) tidak dipenuhi jika 푥≠ 0 atau 푦≠ 0 , jadi 푓 tidak
terdeferensial di 푧≠ 0.
Syarat untuk persamaan Cauchy - Riemann hanya perlu adayang terdiferensialkan