Fungsi harmonik pada bilangan kompleks yang memuat variabel
kompleks sama dengan pada kalkulus yang memuat variabel real yaitu
bila turunan kedua 푘푒 푥 푑푎푛 푘푒 푦 memenuhi persaman Laplace:
푓
푥푥+푓
푦푦= 0
Apabila fungsi 푓(푧)=푢(푥,푦)+푖푣(푥,푦) analitik pada domain 퐷 maka
turunan parsial kedua 푘푒 푥 푑푎푛 푘푒 푦 dari komponen-komponennya yaitu
푢
푥푥,푢
푦푦,푣
푥푥,푣
푦푦memenuhi persamaan Laplace.Persamaan Laplace : 푢
푥푥
+푢
푦푦= 0 푑푎푛 푣
푥푥+푣
푦푦= 0
Apabila diketahui salah satu fungsi harmonik 푢
(
푥,푦
)
maka dapatdiperoleh fungsi-fungsi lainnya 푣
(
푥,푦
)
sedemikian hingga 푓(
푧
)
=
푢
(
푥,푦
)
+푖푣
(
푥,푦
)
analitik yang secara jelas dapat dikatakan:푓
(
푧
)
=푢
푥푥+푖푣
푦푦analitik bila hanya bila 푈 푑푎푛 푉 harmonik dan memenuhi Persamaan
Laplace maka V sekawan
Contoh :
Tunjukkan bahwa 푓
(
푧
)
=푧
2=
(
푥
2−푦
2)
+푖
(
2 푥푦
)
dengan 푓(
푧
)
merupakan fungsi analitik merupakan fungsi harmonik dan tunjukkan
bahwa 푢
(
푥,푦
)
merupakan sekawan harmonik 푣(
푥,푦
)
Penyelesaian:
Diketahui 푓(푧)=푧
2=(푥
2−푦
2)+푖( 2 푥푦)
푓(푧) merupakan fungsi analitik, sehingga:
푢=푥
2−푦
2→푢
푥= 2 푥→푢
푥푥= 2
→푢
푦=− 2 푦→푢
푦푦=− 2
푣= 2 푥푦
→푣
푥= 2 푦→푣
푥푥= 0
→푣
푦= 2 푥→푣
푦푦= 0
Ternyata diperoleh bahwa:
푢
푥푥+푢
푦푦= 0
2 +
(
− 2
)
= 0 (terbukti)