BUKU ANALISIS KOMPLEKS LANJUTAN

Untuk menyelidiki kekonvergensian suatu deret dapat

digunakan “uji banding”, yaitu membandingkan deret tersebut

yang telah diketahui kekonvergensiannya.

Ada tiga macam deret pembanding, yaitu:

1) Deret geometri : ∑ 푎푟

∞ 푛− 1

1

→∣푟∣< 1 , konvergen ∣푟∣≥

1 , divergen

2) Deret hiperharmonis : ∑

1

푛

푘

∞

1

→푘> 1 , konvergen 푘≥ 1 ,

divergen dibuktikan dengan kondensasi : 2

푛

푈

( 2

푛

)

3) Deret Bertrand : ∑

1

푛(ln푛)

푘

∞

1

, jika 푘> 1 → konvergennya, 푘≥ 1 ,

divergen

Prinsip/cara penggunaa deret banding, yaitu:

1) 푉

푛

= deret pembanding 푈

푛

= deret yang diselidiki

a) Jika 푉

푛

konvergen

Sedangkan 0 <푈

푛

<푉

푛

, maka 푈

푛

konvergen

b) Jika 푉

푛

divergen

Sedangkan 0 <푉

푛

<푈

푛

, maka 푈

푛

divergen

c) Jika dipenuhi : (i) 푈

푛

> 0 dan 푉

푛

> 0 , (ii) lim

푛→∞

푈

푛

푉

푛

=퐿≠ 0

Maka 푈

푛

dan 푉

푛

keduanya konvergen atau keduanya divergen.

b. Uji konvergensi deret tak hingga

Untuk menyelidiki konvergensi suatu deret kecuali dengan

membandingkan deret-deret lain yang sudah jelas konvergensinya,

dapat juga dilakukan dengan pengujian (tes) terhadap dirinya sendiri

dengan pengujian “kriteria konvergensi” atau “tes konvergensi”. Ada

banyak tes konvergensi diantaranya, yaitu:

1) Uji Rasio (Uji Pembanding)

Uji rasio ini berlaku untuk deret dengan suku-suku positif yaitu

membandingkan suku ke (n+1) dengan suku ke – n.

Andaikan deret

∑

푧

푛

∞

푛= 1

adalah deret dengan suku –suku positif

Jika lim

푛→∞

푈

푛+ 1

푈

푛

=퐿, maka:

a. Jika 퐿< 1 , maka deret konvergen

b. Jika 퐿> 1 , maka deret divergen

c. Jika 퐿= 1 , maka deret dapat konvergen atau divergen

Bukti:

a. Andaikan 퐿< 1 dan 푟=

1

2

⁄ ( 1 +퐿). Jadi 퐿<푟< 1 , karena 푟

adalah titik tengah antara 퐿 dan 1. Andaikan ∈=푟−퐿 dan 휖> 0.