푅
푛(
푥
)
=
푓
(푛+ 1 )(푐)
(
푛+ 1
)
!
(푥−푎)
푛+ 1Dengan 푐 suatu bilangan dalam selang (푎−푟,푎+푟).Perhatikan kembali Rumus Taylor pada Teorema B, yaitu :푓
(
푥
)
=푓
(
푎
)
+푓
′(
푎
)(
푥−푎
)
+
푓"(푎)
2!
(푥−푎)
2+⋯+
푓
(
푛)(푎)
푛!
(
푥−푎
)
푛+푅
푛(푥)
Apabila 푎= 0 , kita peroleh Deret Maclaurin, yaitu :푓
(
0
)
+푓
′(
0
)
푥+
푓"( 0 )
2!
푥
2+
푓
′′′( 0 )
3!
푥
3+⋯
CONTOH SOAL
Tentukan deret Maclaurin untuk sin푥 dan buktikan bahwa Deret itu
menggambarkan sin푥 untuk semua 푥.
Penyelesaian :
푓(푥)=sin푥 푓( 0 )= 0푓
′(푥)=cos푥 푓′(
0
)
= 1
푓"
(
푥
)
=−sin푥 푓"(
0
)
= 0
푓′′′(푥)=−cos푥 푓′′′(
0)=− 1
푓
( 4 )(푥)=sin푥 푓( 4 )( 0 )= 0
Sehingga,
sin푥=푥−푥
33!
+
푥
55!
−
푥
77!
+⋯
Uraian Deret ini akan berlaku untuk semua 푥, asal dapat dibuktikan bahwa
lim푛→∞푅
푛(푥)= lim푛→∞푓
(
푛+ 1)(푐)
(푛+ 1 )!
푥
푛= 1= 0
Sekarang, |푓
(
푛+ 1)(푥)|=|cos푥| atau |푓(
푛+ 1)(푥)|=|sin푥|, sehingga|
푅
푛(푥)
|
≤
|푥|
푛+ 1(
푛+ 1
)
!
Tetapi lim
푛→∞푥푛푛!= 0 untuk semua 푥, karena푥푛푛!Merupakan Deret konvergen sukuke – n. Akibatnya, dilihat bahwa lim
푛→∞푅
푛