D. DERET LAURENT DAN INTEGRAL RESIDU
A. Deret Laurent
1. Definisi Deret Laurent
Deret Laurent merupakan bentuk umum dari Deret Taylor yang
memuat bentuk (푧 − 푧
0
) berpangkat bilangan bulat negatif ditambah
dengan (푧 − 푧
0
) berpangkat bilangan bulat positif (berhingga atau
tak berhingga).
Penguraian suatu fungsi 푓(푧) ke dalam deret Taylor menyatakan
fungsi itu di dalam lingkaran konvergensinya. Namun, yang sering
hanyalah bagian daerah analitisitasnya, yakni 푓.
Misalnya, deret ∑푧
2
konvergen ke 푓(푧) =
1
( 1 −푧)
hanya pada cakram
|푧| < 1 , meskipun 푓 analitik dimana-mana kecuali pada 푧 = 1. Lalu
pertanyaan yang sesuai adalah; adakah suatu penguraian deret yang
menyatakan 푓 di dalam daerah yang lebih lengkap, atau mungkin,
pada semua titik dimana 푓 analitik? Nah, hal inilah yang menjadi
tujuan utama dari pasal ini, yakni untuk memberikan jawaban
terhadap pertanyaan yang umum dan wajar atau sesuia, salah
satunya dengan mengembangkan deret Laurent pada fungsi analitik.
Berikutnya, akan ditunjukkan bahwa deret Laurent suatu fungsi
푓(푧) konvergen, umumnya terdapat di dalam anulus melingkar 푟 <
|푧 − 푐| < 휌. Hal inilah yang menjadi dasar penggunaan anulus
konvergensi sebagai pengganti lingkaran konvergensi.
2. Teorema Laurent
Jika diketahui fungsi 푓(푧) analitik pada setiap titik di anulus
tertutup
퐴:푟≤|푧−푧
0
|≤휌
Maka terdapat suatu deret dalam (푧−푧
0
) berpangkat positif dan
negatif yang menyatakan 푓 pada setiap titik 휁 di dalam anulus
(terbuka) 푟<
|
푧−푧
0
|
<휌∶
풇(휁)=∑푎
푛
(휁−푧
0
)
푛
+
∞
푛= 0
∑
푏
푛
(휁−푧
0
)
푛
∞
푛= 1