Sec. 11.6 Mobile coordinates 223
Nowz 4 =z 2 +^12 (z 3 −z 2 ),z 8 =z 2 +p 1 (z 3 −z 2 ), and by the formula in 11.6.5 for
the orthocentre,z 11 =z 2 +p 21
(
1 −p^1 q− 11 ı
)
(z 3 −z 2 ). From these we have that
z 18 =^12 [z 2 +z 2 +p 1
(
1 −
p 1 − 1
q 1
ı
)
(z 3 −z 2 )=z 2 ++
1
2
p 1 ( 1 −
p 1 − 1
q 1
ı)(z 3 −z 2 ).
We letZ 16 (iii)be the circumcentre of the triangle[Z 4 ,Z 8 ,Z 18 ]and for the present write
z 4 =z 8 +(p 4 +ıq 4 )(z 18 −z 8 )=( 1 −p 4 −ıq 4 )z 8 +(p 4 +ıq 4 )z 18
=( 1 −p 4 −ıq 4 )[z 2 +p 1 (z 3 −z 2 )]+ (p 4 +ıq 4 )[z 2 +
1
2
p 1 ( 1 −
p 1 − 1
q 1
ı)](z 3 −z 2 )
=( 1 −ıq 4 +ıq 4 )z 2 +
[
( 1 −p 4 −ıq 4 )p 1 +(p 4 +ıq 4 )
1
2
p 1 ( 1 −
p 1 − 1
q 1
)ı
]
(z 3 −z 2 )
=z 2 +p 1
[
1 −p 4 −ıq 4 +^12 (p 4 +ıq 4 )[ 1 −
p 1 − 1
q 1
ı]
]
(z 3 −z 2 )
=z 2 +p 1
[
1 −p 4 −q 4 ı+^12 (p 4 +q 4 ı)−^12 (p 4 +q 4 ı)
p 1 − 1
q 1
ı
]
(z 3 −z 2 )
=z 2 +p 1
[
1 −^12 p 4 −^12 q 4 ı−^12 p 4
p 1 − 1
q 1
ı+^12 q 4
p 1 − 1
q 1
]
(z 3 −z 2 )
=z 2 +p 1
[
1 −^12 p 4 +^12 q 4
p 1 − 1
q 1
−^12 (q 4 +p 4
p 1 − 1
q 1
)ı
]
(z 3 −z 2 )
=z 2 +^12 (z 3 −z 2 ).
Hence
p 1
[
1 −^12 p 4 +^12 q 4
p 1 − 1
q 1
−^12 (q 4 +p 4
p 1 − 1
q 1
)ı
]
=^12
so that
q 4 +p 4
p 1 − 1
q 1
= 0 ,p 1
[
1 −^12 p 4 +^12 q 4
p 1 − 1
q 1
]
=
1
2
.
Thenq 4 =−p^1 q− 11 p 4 and
−^12 p 1 p 4 +^12
p 1 − 1
q 1
q 4 =
1
2
−p 1 ,−p 4 +
p 1 − 1
q 1
q 4 =(^12 −p 1 )
2
p 1
,
−p 4 −
p 1 − 1
q 1
p 1 − 1
q 1
p 4 =
1
p 1
− 2 ,−p 4
[
1 +
(p 1 − 1 )^2
q^21
]
=
1 − 2 p 1
p 1
,
p 4 =
( 2 p 1 − 1 )q^21
p 1 (q^21 +(p 1 − 1 )^2 )
,
q 4 =−
p 1 − 1
q 1
2 p 1 − 1
p 1
q^21
[q^21 +(p 1 − 1 )^2 ]
p^24 +q^24 =
[
1 +(
p 1 − 1
p 1
)^2
]
( 2 p 1 − 1 )^2
p^21
q^41
[q^21 +(p 1 − 1 )^2 ]