Ekkor a hosszú tű határvonal-keresztezéseinek várható
száma pontosan megegyezik az 1-es féltű meg a 2-es féltű
határvonal-keresztezései várható számának az összegével.
Algebrai megfogalmazásban: ha az 1-es tű határvonal-
keresztezéseinek száma X, a 2-es tű határvonal-keresztezéseinek
száma Y, akkor a hosszú tű határvonal-keresztezéseinek száma X
- Y. De a két féltű éppen olyan hosszú, mint az eredeti, vagyis
mindegyik p eséllyel keresztez határvonalat, tehát mindkét tű
határvonal-keresztezéseinek átlagos száma – azaz E(X) és E(Y) is
- p-vel egyenlő. Következésképpen a kétszeres hosszúságú tű
határvonal-keresztezéseinek várható teljes száma éppen E(X + Y)
= E(X) + E(Y) = p + p, vagyis 2p.
És ugyanez az érvelés használható a deszkasáv szélességénél
háromszorta, négyszerte vagy százszorta hosszabb tűre. Ha a tű
N hosszúságú (a deszkasáv szélességével mint egységgel mérve),
akkor a határvonal-kereszteződések várható száma Np.
Sőt ez nemcsak a hosszabb tűkre áll, hanem a rövidebbekre
is. Tegyük fel, hogy 1/2 hosszúságú tűt dobálok. A Buffon-féle 1
hosszúságú tű két 1/2 hosszúságúra vágható szét, és az 1
hosszúságúhoz tartozó p várható érték kétszer akkora kell hogy