válasz, hogy nem – az egy másik geometria lenne, nem
Eukleidész geometriája, hanem valami más: az első négy
axióma érvényben maradna benne, de a párhuzamossági
axióma nem. Vagyis nem lehetséges a párhuzamossági axiómát
a többiből bebizonyítani, mert egy ilyen bizonyítás kizárná a
Bolyai-féle geometria lehetőségét, holott az igenis létezik.
Sokszor „már a levegőben van” egy matematikai előrelépés
- alig értett okokból a matematikusok közössége már várja
valaminek az eljövetelét, és az egyszerre több forrásból is
feltűnik. Ahogyan Bolyai Magyarországon megalkotta a maga
geometriáját, megalkotta Nyikolaj Lobacsevszkij[^179 ] is
Oroszországban. S a nagy Carl Friedrich Gauss, az idősebb
Bolyai régi barátja is sok ugyanilyen gondolatot leírt egy még
közre nem adott munkájában. (Bolyai munkájáról értesülve
kissé elzárkózóan ezt válaszolta: „Ha dicsérném, akkor
magamat dicsérném.”){^2 }
A Bolyai-, Lobacsevszkij- és Gauss-féle, hiperbolikusnak
nevezett geometria leírásához több hely kellene, mint
amennyink itt van. De mint arra Bernhard Riemann néhány
évtizeddel később rájött, van egy egyszerűbb nemeuklideszi
világ: egyáltalán nem új, s nem is ismeretlen, éspedig a
gömbfelület geometriája.
Vegyük csak elő az első négy axiómát:
Bármely két Pont összeköthető egy Egyenessel.