párhuzamos L-lel. Gondolhatod, hogy ezt a geometriát egy kicsit
nehezebb elképzelni.)
Ha ismerősnek tűnik ez a különös helyzet – hogy ugyanis
nincsenek párhuzamos egyenesek –, az abból fakadhat, hogy
már láttuk. A Brunelleschi és festőtársai által kifejlesztett
perspektívaelméletben találkoztunk vele: a projektív síkban.
[ 181 ] Ott is minden egyenes metszett minden más egyenest. És ez
nem véletlen egyezés: bebizonyítható, hogy a gömbi Pontok és
Egyenesek Riemann-féle geometriája ugyanaz, mint a projektív
sík geometriája.
Ha az axiómákat a gömbi Pontokról és Egyenesekről szóló
állításként fogjuk fel, akkor az derül ki, hogy az első négy
axióma igaz, teljesül, de az ötödik nem. Ha az ötödik axióma
logikai következménye lenne az első négynek, akkor a
gömbfelület létezése ellentmondást szülne, az ötödik axióma
egyfelől igaz lenne (az első négy igaz voltának
következményeképpen), másfelől meg hamis (annak
következményeképpen, amit a gömbről tudunk). A jó öreg
reductio ad absurdum szerint ez annyit tesz, hogy gömbök nem
léteznek. De gömbök igenis léteznek. Az ötödik axiómát tehát
nem lehet az első négyből levezetni – s ezt kellett bizonyítani.
Ez sokban pont olyannak tűnik, mint foltot feltakarítani a
padlóról. De az igyekezet az ilyen állítások bebizonyítására nem
pusztán mániákus esztétikai érdeklődésben gyökerezik (bár
nem tagadhatom, hogy ilyesmi is közrejátszik benne). Mert
miről van szó: ha megérted, hogy az első négy axióma sokféle