hogy nem mondanak ellent egymásnak, vagyis hogy véges sok logikai lépés
megtétele után sem fogunk belőlük ellentmondó eredményeket kapni.Az ember hajlamos egyszerűen azt mondani, hogy nem
juthatunk ilyen rettenetes végeredményre. Hogyan is
juthatnánk? Az axiómák nyilvánvalóan helyesek. No de az ókori
görögöknek éppily világos volt, hogy egy geometriai mennyiség
csak két egész szám hányadosa lehet, és mérésfogalmuk
működött is egészen addig, amíg a Pitagorasz-tétel és a 2-nek ez
a makacsul irracionális négyzetgyöke meg nem támadta az
egész szerkezetet. A matematikának van egy csúnya szokása:
időnként megmutatja, hogy ami nyilvánvalóan igaz, az
teljességgel hibás. Képzeld csak el Gottlob Fregének, egy
logikával foglalkozó német kutatónak a helyzetét; Frege a
matematika logikai megalapozásán dolgozott, akárcsak Hilbert.
De nem a számelméletet vette célba, hanem a halmazelméletet.
Ő is egy axiómasorozatból indult ki, olyan nyilvánvaló
axiómákból, hogy ki sem kellett mondani őket. A Frege-féle
halmazelméletben a halmaz elemeknek nevezett objektumok
együttese volt. A halmazokat sokszor kapcsos zárójelek közé
írjuk, ezzel jelöljük ki az elemeiket; az {1, 2, malac} tehát az a
halmaz, amelynek eleme az 1-es szám, a 2-es szám meg egy
malac.
Ha az ilyen elemek némelyikének megvan ez vagy az a
tulajdonsága, más elemeknek meg nincsen, akkor van olyan
halmaz, amelyben az elemeknek mind megvan ez a bizonyos
tulajdonságuk. Hogy egy kicsit megfoghatóbb legyen: itt van a