426 Integration (Chapter 15)

We expand the brackets

and simplify to a form

that can be integrated.

Example 7 Self Tutor

Find:

a

Z

(x^3 ¡ 2 x^2 +5)dx b

Z ³

1

x^3

¡

p

x

́

dx c

Z

(2 sinx¡cosx)dx

a

Z

(x^3 ¡ 2 x^2 +5)dx

=

x^4

4

¡

2 x^3

3

+5x+c

b

Z ³

1

x^3

¡

p

x

́

dx

=

Z

(x¡^3 ¡x

1

(^2) )dx

x¡^2
¡ 2
¡
x
3
2
3
2
+c
=¡
1
2 x^2
¡^23 x
3
(^2) +c
c
Z
(2 sinx¡cosx)dx
=2(¡cosx)¡sinx+c
=¡2 cosx¡sinx+c
There is no product or quotient rule for integration. Consequently we often have to carry out multiplication
or division before we integrate.

Example 8 Self Tutor

Find: a

Z ³

3 x+

2

x

́ 2

dx b

Z μ

x^2 ¡ 2

p

x

¶

dx

a

Z ³

3 x+

2

x

́ 2

dx

=

Z ³

9 x^2 +12+^4

x^2

́

dx

=

Z

(9x^2 +12+4x¡^2 )dx

=

9 x^3

3

+12x+

4 x¡^1

¡ 1

+c

=3x^3 +12x¡

4

x

+c

b

Z μ

x^2 ¡ 2

p

x

¶

dx

=

Z μ

x^2

p

x

¡

2

p

x

¶

dx

=

Z

(x

3

(^2) ¡ 2 x¡
1
(^2) )dx

x
5
2
5
2
¡
2 x
1
2
1
2
+c
=^25 x^2
p
x¡ 4
p
x+c

EXERCISE 15E.1

1 Find:

a

Z

(x^4 ¡x^2 ¡x+2)dx b

Z

(5x^4 ¡ 4 x^3 ¡ 6 x^2 ¡7)dx c

Z

(

p

x+ex)dx

d

Z

(3ex+x^2 )dx e

Z

(x

p

x¡2)dx f

Z μ

1

x

p

x

+4x

¶

dx

g

Z μ

1

2 x

(^3) ¡x (^4) +x
1
3
¶
dx i
Z ¡
5 ex+^13 x^3 ¡
p
x
¢
h dx
Z ³
x
2
+x^2 ¡ex
́
dx
cyan magenta yellow black
(^05255075950525507595)
100 100
(^05255075950525507595)
100 100 4037 Cambridge
Additional Mathematics
Y:\HAESE\CAM4037\CamAdd_15\426CamAdd_15.cdr Monday, 7 April 2014 3:59:11 PM BRIAN