The Chemistry Maths Book, Second Edition

4.3 Continuity 97

An alternative symbol for the derivative of the functionf(x)isf′(x):

(4.9)

Another symbol is Df, by which is implied that the derivative offis obtained by

acting (operating) onfwith the differential operatorD,

(4.10)

The concept of differential and other operators is widely used in the physical sciences,

and will be discussed in later chapters.

4.3 Continuity

In the discussion of taking the limit in Section 4.2 it was assumed that the function

y 1 = 1 f(x)is a continuous functionof x, and that the limit defined by equation (4.8)

exists and is unique. Generally speaking, a function is continuous if its graph is an

uninterrupted curve. A given functiony 1 = 1 f(x)may be tested for continuity at a point,

x

1

say, by letting the independent variable xmove continuously from the right side

and from the left side towards the specified point x

1

as shown in Figure 4.5.

Iff(x

1

1 + 1 ∆x)andf(x

1

1 − 1 ∆x)approach the samevaluef(x

1

)as∆x 1 → 10 then the

function is said to be continuous at x

1

, and we write

(4.11)

If this holds for every value of x

1

in a certain intervala 1 ≤ 1 x

1

1 ≤ 1 b, then the function is

continuous in the interval. Three types of discontinuityare illustrated in Figure 4.6.

lim ( ) ( )

xx

fx fx

→

=

1

1

DD=, = =

d

dx

f

d

dx

f

df

dx

fx′ =

df x

dx

()

()

• 
  
  
  
  • 
    
    
    
    • 
      
    
    
    
    
  
  
  
  

f(x

1

)

x

1

−∆xx

1

x

1

+∆x

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Figure 4.5

a

bc

• • •

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Figure 4.6