9.5 The total differential 259
For example, for the quadratic functionax
21 + 1 bxy 1 + 1 cy
2,
z
p1 = 1 f(x, y) 1 = 1 ax
21 + 1 bxy 1 + 1 cy
2z
q1 = 1 f(x 1 + 1 ∆x, y 1 + 1 ∆y) 1 = 1 a(x 1 + 1 ∆x)
21 + 1 b(x 1 + 1 ∆x)(y 1 + 1 ∆y) 1 + 1 c(y 1 + 1 ∆y)
2and
∆z 1 = 1 z
q1 − 1 z
p1 = 1 (2ax 1 + 1 by)∆x 1 + 1 (bx 1 + 12 cy)∆y 1 + 1 a(∆x)
21 + 1 b(∆x)(∆y) 1 + 1 c(∆y)
2Now, because
the change in the function can be written as
(9.15)
This expression is exact for the present case, and for all functions whose third and
higher derivatives are zero. For a general functionf(x, y), (9.15) represent the first few
terms of a Taylor expansion of the function at point(x 1 + 1 ∆x, y 1 + 1 ∆y)about the point
(x, y) (compare with equation (7.24) for a function of one variable).
∂
∂
∆+
∂
∂∂
∆
1
2
2222z
x
x
z
xy
() ()(x ∆∆+
∂
∂
y ∆
z
y
)()y
1
2
222∆=
∂
∂
∆+
∂
∂
z ∆
z
x
x
z
y
y
1
2
1
2
22222∂
∂
=,
∂
∂∂
=,
∂
∂
=
z
x
a
z
xy
b
z
y
c
∂
∂
=+,
∂
∂
=+
z
x
ax by
z
y
22 bx cy
.
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........................................
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.........................................................
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......................
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.........................................x
y
z
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.........................................................................................................P
Q
R
p
q
r∆ y
∆ x
z
pz
q
- •
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....Figure 9.5