408 Chapter 14Partial differential equations
The graphs of these are shown in Figure 14.4. The number of radial nodes (spherical
nodal surfaces of the total wave function) isn 1 − 1 l 1 − 1 1, excluding the zero atr 1 = 10 when
l 1 > 10.
The energy
The allowed values of the energy are obtained from (14.75); whenλ 1 = 1 n, α 1 = 1 Z 2 nand
E 1 =−α
2- Therefore
, n 1 = 1 1, 2, 3, = (14.82)
The number nis called the principal quantum number.
The total wave function
The total solutions of the Schrödinger equation for the bound states of the hydrogen-
like atom are
E
Z
n
n=−
222
............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................2
07
r
1 s
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..............
....................... .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................0 14
r
........1
√
2
2 s
2 p
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...........
..................
.................................
............. .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................0 21
r
........2
3
√
3
3 s
3 p
3 d
...
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...........................
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.................
...............
.............
..............
................
................
.....................
................................
................................Figure 14.4
Table 14.2 Radial functions R
n,l(ρ), ρ= 2 Zr 2 n
nl Name R
n,l(ρ)
10 1 s 2 Z
322
e
−ρ 2220 2 s
21 2 p
30 3 s
31 3 p
32 3 d
1
930
32 2 2
Zeρ
−ρ1
96
4
32 2
Ze()−
−
ρρ
ρ1
93
66
32 2 2
Ze()−+
−
ρρ
ρ1
26
32 2
Zeρ
−ρ1
22
2
32 2
Ze()−
−
ρ
ρ